2024届高三数学二轮复习培优练9：概率与数列(含马尔可夫链问题)

培优练9 概率与数列(含马尔可夫链问题) 一、基本技能练 1.(2023·华师大附中压轴卷)长江十年禁渔计划全面施行，渔民老张积极配合政府工作，如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资，并看中了两种为期60天(视作2个月)的稳健型(不会亏损)理财方案. 方案一：年化率2.4%，且有10%的可能只收回本金； 方案二：年化率3.0%，且有20%的可能只收回本金； 已知老张对每期的投资本金固定(都为10万元)，且第一次投资时选择了方案一，在每期结束后，老张不间断地进行下一期投资，并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资. (1)设第i次投资(i＝1，2，3，…，n)选择方案一的概率为Pi，求P4； (2)求一年后老张可获得总利润的期望(精确到1元). 注：若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资，则该次投资获利ω＝2.4%××1 000＝10元. 2.(2023·杭州一模)中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办. (1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到2×2列联表如下： 喜爱篮球 不喜爱篮球 合计 男生 65 35 100 女生 25 75 100 合计 90 110 200 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？ (2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到，记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1. ①求P3，P4，并证明：为等比数列； ②比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小. 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量. 参考数据： α＝P(χ2≥k) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3.(2023·惠州一模)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn. 证明：①为等比数列； ②当n≥2时，Pn≤. 二、创新拓展练 4.(2023·荆州统测)为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1 000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6∶7∶8. (1)现从三个班中随机抽取一位同学： ①求该同学有购买意向的概率； ②如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率； (2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01). 参考答案 1.解　(1)由题意知Pi＋1＝(1－40%)Pi＋40%(1－Pi)＝＋Pi， 整理得Pi＋1－＝，其中P1＝1， 故数列是以P1－为首项，为公比的等比数列，则Pn－＝×， 即Pn＝＋×，那么P4＝. (2)当某期选择方案一时，获利期望值为W1＝(1－10%)×2.4%××100 000 ＝360元； 当某期选择方案二时，获利期望值为W2＝(1－20%)×3.0%××10 000＝400元； 那么，在一年间，老张共投资了6次，获得的总利润的期望为 W＝[P1W1＋(1－P1)W2]＋[P2W1＋(1－P2)W2]＋…＋[P6W1＋(1－P6)W2]＝(P1＋P2＋…＋P6)W1＋[(1－P1)＋(1－P2)＋…＋(1－P6)]W2≈2 400－40×＝2 255元. 即一年后老张可获得的利润的期望约为2 255元. 2.解　(1)