特训07 图形的相似 压轴题（十一大母题型归纳）-2023-2024学年九年级数学期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

特训07 图形的相似 压轴题（十一大母题型归纳） 目录： 题型1：相似三角形在特殊三角形中的应用 题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用 题型3：相似三角形与二次函数 题型4：相似三角形与反比例函数 题型5：旋转问题 题型6：相似三角形与圆 题型7：相似三角形与代数(方程)问题 题型8：情景探究题 题型9：相似三角形与解直角三角形 题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用 题型11：最值问题 题型1：相似三角形在特殊三角形中的应用 1．如图，已知和都为等腰三角形，，，． (1)当时， ①如图1，当点在上时，与的数量关系是______； ②如图2，当点不在上时，与的数量关系是______； (2)当时， ①如图3，探究线段与的数量关系，并说明理由； ②当，，时，请直接写出的长． 2．如图1，等边中，为边上的一点，且，分别为上的两个动点，始终保持. (1)若，求证：①，②； (2)①如图2，若，试探究之间的数量关系，请写出证明过程； ②请通过类比、归纳、猜想，探究出之间的数量关系的一般结论（用含有的代数式直接写出，不用证明）； (3)如图3，为边上的中点，，连接，当点分别在线段上运动时，当时，直接写出线段扫过的图形的面积. 题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用 3．【基础巩固】    （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，， ，，，则菱形的边长为______． 4．如图①，在正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，延长交于点． (1)求证：． (2)如图②，在（1）的条件下，延长交于点． ①求证： ②若，求线段的长． (3)将正方形改成矩形，同样沿着折叠，连接，延长交直线于两点，若，则_______．（用含的代数式表示）． 题型3：相似三角形与二次函数 5．如图1，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线分别与x轴、y轴交于点B、A，点B坐标为，抛物线与y轴交于点D，顶点C坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)E为上一点，连接，与交于点F，若，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点P的横坐标为，过P作轴于点M，x轴上有一点，连接、，延长交延长线于点Q，连接，若，求点P的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点，且与x轴的负半轴交于点C．    (1)求该抛物线的解析式； (2)P为直线上方抛物线上的一点，过点P作于点Q，求的最大值； (3)若点D为直线上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标． 题型4：相似三角形与反比例函数 7．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴和y轴分别交于E，F两点． (1)当时，求A、B两点的坐标； (2)在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，直线、分别交反比例函数图象的另一支于点和点，连接、和，交轴于点，交y轴于点G．若， ①求此时反比例函数的表达式． ②求四边形的面积． 8．如图，正比例函数与反比例函数交于点，且与反比例函数交于点，且， (1)求的点坐标及的值； (2)点分别为、上两动点，且 ①试说明：在运动过程中，始终存在； ②点为的中点，点为的中点，当的面积为时，求点的坐标． 题型5：旋转问题 9．ABC中，，点D在边BC上，，将线段绕点D顺时针旋转至，连接，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接    (1)如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系； (2)当时， ①如图2，（1）中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，当且点三点共线时，求线段的长． 10．在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结．    (1)如图1，若，点关于直线的对称点为点，连结，，则　 　； (2)若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； (3)如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 题型6：相似三角形与圆 11．如图1，内接于，于点D． (1)连接，，求证：； (2)如图2，若点E为弧上一点，连接交于点F，若，，连接，求证：平分； (3)在（2）的条件下，如图3，点G为上一点，连接，，若，，求线段的长． 12．如图1，的直径垂直弦于点，且，． (1)求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点． ①当点是的中点时，求证：； ②如图3，连接，，当为等腰三角形