课件5.6 几何证明举例（3）-2023-2024学年八年级数学上册青岛版

用数学的眼光 观 察 现实世界 用数学的思维 思 考 现实世界 用数学语言 表 达 现实世界 走进生活 为方便市民去往高铁站,政府部门计划在公路边建公交站。如何确定公交站的位置,使两个小区的居民到公交站的距离相等呢? 阳光小区 公路 幸福小区 A B l 走进生活 C A B l 如图,点C就是公交站所在的位置. 5.6 几何证明举例(3) |线段垂直平分线的性质定理和判定定理| 出版:青岛出版社 册别:八年级上册 核心素养目标 1.掌握并证明线段垂直平分线的性质定理与判定定理; 2.掌握基本的证明方法,会通过分析的方法探索证明的思路,发展推理能力。 回顾思考 1.什么是线段的垂直平分线? 垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 2.根据本册第二章的学习你知道线段的垂直平分线有什么性质? 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 这个性质你是怎样得到的? 利用线段的轴对称性质,“对折”线段,得出结论 Think 思考 1 2 行业PPT模板http:///hangye/ 如何用几何推理的方法,证明它的真实性? 几何证明的一般步骤是什么? 几何证明的一般步骤 第一步 第二步 第三步 根据题意, 画出图形 根据条件,结论,结合图形,写出已知求证 找出由已知推出求证的途径,写出证明过程 归纳 探究:线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 直线 CD 是线段AB的垂直平分线,垂足为点 M ,点P是直线 CD 上的任意一点。 PA = PB C P A B M D 已知: 求证: A B C D (M)P 点P在直线AB外 (点P不与点M重合) 点P 在直线AB上 (点P与点M重合) 由于点P是直线CD上的任意一点,所以要考虑两种情况 探究:线段垂直平分线的性质 C P A B M D 证明:①当点P不与点M重合时 ∵PM⊥AB(已知) ∴∠PMA= ∠PMB =90 (垂直平分线的定义) ∵ PM= PM(公共边) MA=MB(垂直平分线的定义) ∴ PMA≌ PMB (SAS) ∴ PA = PB (全等三角形对应边相等) 探究:线段垂直平分线的性质 C P A B M D 证明:②当点P与点M重合时 ∵MA=MB(垂直平分线的定义) ∴ PA = PB (等量代换) 由①②可知,命题 “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”成立。 A B C D (M)P 探究:线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 符号表示: ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 总结:线段垂直平分线的性质 C P A B M D 走进生活 C A B l ∵点C在线段AB的垂直平分线上 ∴AC=BC. 练习如图, ABC中,∠BAC=1200,AB=AC,AC的垂直平分线 交BC于D, ADC是 三角形,∠ADC= 等腰 应用:线段垂直平分线的性质 1200 Think 思考 1 2 行业PPT模板http:///hangye/ 你能说出“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题吗? 它是真命题吗?如何证明? 探究:线段垂直平分线的判定 两个命题的条件和结论正好互换 称为互逆命题的两个命题有什么特点? 已知:线段AB,P为平面内一点,且PA=PB. 求证:点P在线段AB的垂直平分线上 到一条线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 探究:线段垂直平分线的判定 P A B 温馨提示: 根据点的位置分情况讨论 ①点P不在线段AB所在的直线上②点P在线段AB所在的直线上 证明:①当点P不在线段AB所在的直线上时 ∵PA=PB.(已知) ∴ PAB是等腰三角形.(等腰三角形的定义) 过点P作PC⊥AB,垂足为点C. ∴AC=CB(等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合 ) ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 探究:线段垂直平分线的判定 P A B C 证明:①当点P不在线段AB所在的直线上时 ∵PA=PB.(已知) ∴ PAB是等腰三角形.(等腰三角形的定义) 取AB的中点C,连接PC ∵AC=BC(中点的定义) ∴PC⊥AB (等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合 ) ∴点P在线段AB的垂直平分线上 P A B C 证明:②当点P在线段AB所在的直线上时, ∵PA=PB.(已知) ∴点P是线段AB的中点(线段中点的定义) ∴点P在线段AB的垂直平分线上 由① ②可知命题“到一条线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.”成立 探究:线段垂直平分线的判定 A B C D P 符号表示: ∵PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线的判定定理: 到一条线段两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 总结