2024届高三数学二轮复习培优练8：立体几何中的动态问题

培优练8 立体几何中的动态问题 一、基本技能练 1.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹为(　　) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 2.(2023·上饶六校联考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到直线A1B1的距离的平方差为a2，则点P的轨迹所在的曲线为(　　) A.双曲线 B.圆 C.直线 D.抛物线 3.如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN中点轨迹的面积为(　　) A.4π B.2π C.π D. 4.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F为AA1，AB的中点，点M是正方形ABB1A1内的动点，若C1M∥平面CD1E，则点M的轨迹长度为(　　) A. B.1 C. D. 5.(2022·北京卷)已知正三棱锥P－ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合.设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为(　　) A. B.π C.2π D.3π 6.(多选)(2023·汕头模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，则下列结论正确的是(　　) A.当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为 B.三棱锥B－AEF的体积为定值 C.EF在平面ABB1A1内的射影长为a D.当E向D1运动时，二面角A－EF－B的平面角保持不变 7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 8.如图，P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1表面上的动点，且AP＝，则动点P的轨迹的长度为________. 二、创新拓展练 9.(2023·南通联考)已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面A1B1C1D1的边界上一点.若·的最小值为，则该正四棱台的体积为(　　) A. B.3 C. D.1 10.(2023·潍坊调研)如图，等腰直角三角形ABE的斜边AB为正四面体ABCD的侧棱，AB＝2，直角边AE绕斜边AB旋转一周，在旋转的过程中，三棱锥E－BCD体积的取值范围是________. 参考答案 1.D　[点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离， 所以在平面BB1C1C中，点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等， 由抛物线的定义可知，动点P的轨迹为抛物线，故选D.] 2.A　[建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作PE⊥A1D1于点E，PF⊥A1B1于点F， 设P(x，y，0)，则E(x，0，a)，F(a，y，a)， 由题意可知|PE|2－|PF|2＝a2， 则(a2＋y2)－[(a－x)2＋a2]＝a2， 即y2－(x－a)2＝a2，表示双曲线.故选A.] 3.D　[易知DD1⊥平面ABCD，∠MDN＝90°，取线段MN的中点P， 则DP＝MN＝1， 所以点P的轨迹是以D为球心，1为半径的球面， 故S＝×4π×12＝.] 4.C　[如图所示， 取A1B1的中点H，B1B的中点G，连接EF，FC，GH，C1H，C1G，EG，HF可得四边形EGC1D1是平行四边形， ∴C1G∥D1E， 又D1E⊂平面CD1E，C1G⊄平面CD1E， ∴C1G∥平面CD1E， 同理可得C1H∥CF， 又CF⊂平面CD1E，C1H⊄平面CD1E， ∴C1H∥平面CD1E， 又C1H∩C1G＝C1，C1H，C1G⊂平面C1GH， ∴平面C1GH∥平面CD1E， 又M点是正方形ABB1A1内的动点， 若C1M∥平面CD1E， ∴点M在线段GH上， ∴M点轨迹的长度GH＝＝.] 5.B　[设顶点P在底面上的投影为O，连接BO， 则O为△ABC的中心， 且BO＝×6×＝2， 故PO＝＝2. 因为PQ≤5，故OQ≤1， 故Q点的集合为以O为圆心，1为半径的圆及其内部， 而△ABC内切圆的圆心为O， 半径为＝>1， 故Q的轨迹圆在△ABC内部，故其面积为π.] 6.BCD　[对于A，如图，当E与D1重合时，因为EF＝a， 所以F为B1D1的中点，连接BD，记BD中点为O，连接D1O，AO，由正方体性质可知，BO∥D1F，BO＝D1F，所以四边形BOD1F为平行四边形，所以D1O∥BF，所以直线AE与BF所成角即为直线D1O与AD1所成角