2024届高三数学二轮复习培优练7：截面或交线问题

培优练7 截面或交线问题 一、基本技能练 1.过一个圆锥的侧面一点(不是母线的端点)作圆锥的截面，则截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分中的(　　) A.①②③④ B.①③④ C.①② D.①②④ 2.(2023·北京顺义区调研)已知过BD1的平面与正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是(　　) A.截面BMD1N可能是矩形 B.截面BMD1N可能是菱形 C.截面BMD1N可能是梯形 D.截面BMD1N不可能是正方形 3.(多选)(2023·青岛质检)如图，一个平面α斜截一个足够高的圆柱，与圆柱侧面相交的图形为椭圆E.若圆柱底面圆半径为r，平面α与圆柱底面所成的锐二面角大小为θ，则下列对椭圆E的描述中正确的是(　　) A.短轴为2r，且与θ大小无关 B.离心率为cos θ，且与r大小无关 C.焦距为2rtan θ D.面积为 4.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则该正方体被过E，F，G三点的平面截得的截面面积为(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 5.(2023·三明质检)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别是棱AA1，BC的中点，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形周长为(　　) A.6 B.10 C.＋2 D. 6.(2023·湖州模拟)已知三棱锥P－ABC的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为，若该三棱锥的外接球O的半径为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为(　　) A.6π B.12π C.2π D.4π 7.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，过B，E，D1的截面与棱A1B1交于F，则截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面积之和为________. 8.(2023·深圳调研)四棱锥P－ABCD各顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AB＝2，AD＝4，设E，F分别是PB，BC的中点，则球O被平面AEF所截得的截面面积为________. 二、创新拓展练 9.(多选)(2023·济南模拟)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是面对角线BD上的动点，Q是棱C1D1的中点，用过A1，P，Q三点的平面截正方体ABCD－A1B1C1D1，则所得截面多边形可能是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 10.(2023·杭州调研)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，M为AA1的中点，过B1M作长方体的截面α交棱CC1于点N，则下列说法正确的是____________.(填序号) ①截面α可能为五边形； ②存在点N，使得BN⊥截面α； ③若截面α为平行四边形，则1≤CN≤2； ④当点N与点C重合时，截面面积为. 参考答案 1.A　[根据截面与圆锥的位置关系，所得的图形如图所示， 故截面与该圆锥侧面的交线可以是图形①圆；②椭圆；③抛物线的一部分；④双曲线的一部分.] 2.C　[如图①，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是矩形； 如图②，当M，N为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形； 　 根据对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选C.] 3.ACD　[由题意，椭圆短轴长2b＝2r； 而长轴长随θ变大而变长且2a＝， 所以c＝＝rtan θ， 故e＝＝sin θ， 焦距为2c＝2rtan θ； 由椭圆在底面投影即为底面圆，则cos θ等于圆的面积与椭圆面积的比值， 所以椭圆面积为S＝. 综上，A，C，D正确，B错误.] 4.C　[作出过E，F，G三点的截面，如图， 由图可知，截面为正六边形，且边长为a， 所以截面面积S＝6×××＝a2.] 5.D　[取CC1的中点G，连接BG，则D1E∥BG，取CG的中点N，连接FN，则FN∥BG， 所以FN∥D1E. 延长D1E，DA交于点H，连接FH交AB于点M，连接ME，则平面D1EF截该正方体所得的截面图形为多边形D1EMFN. 由题意知A为HD的中点，A1E＝AE＝2， 则C1N＝3，CN＝1，则D1E＝＝2，D1N＝＝5，FN＝＝. 取AD的中点Q，连接QF，则AM∥FQ， 所以＝， 所以AM＝·FQ＝×4＝， 则MB＝， 则ME＝＝＝， MF＝＝＝. 所以截面图形的周长为D1E＋EM＋MF＋FN＋ND1＝2＋＋＋＋5 ＝.] 6.D