2024届高三数学二轮复习培优练6：数列的放缩问题

培优练6 数列的放缩问题 一、基本技能练 1.(2023·宁波九校联考)已知正数数列{an}中，a1＝，且a＋an＋1an－a＝0(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(n∈N*)，证明：b1＋b2＋…＋bn<. 2.已知数列{an}满足a1＝1，a2n＋1＝a2n＋1，a2n＝2a2n－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设Tn＝＋＋…＋，求证：T2n<3. 3.(2023·南京二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：＋＋…＋<. 二、创新拓展练 4.(2023·浙江十校联考)在数列{qn}中q1＝2，qn＋1＝2－，在数列{an}中，a1＝1，＝＝qn. (1)求证：数列成等差数列，并求qn； (2)求证：＋＋…＋＋<3－－. 参考答案 1.(1)解　由a＋an＋1an－a ＝(an＋1＋an)·＝0，an>0， 得an＋1＝an，又a1＝， 则{an}是以为首项，为公比的等比数列， 所以an＝. (2)证明　因为bn＝ ＝ ＝－(n∈N*)， 所以b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝－<1－＝. 2.(1)解　将a2n＝2a2n－1代入a2n＋1＝a2n＋1中，得a2n＋1＝2a2n－1＋1. 下面构造等比数列： 令a2n＋1－k＝2(a2n－1－k)， 得a2n＋1＝2a2n－1－k，则－k＝1，则k＝－1， ∴a2n＋1＋1＝2(a2n－1＋1)， 故数列{a2n－1＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a2n－1＋1＝2·2n－1，∴a2n－1＝2n－1， a2n＝2·a2n－1＝2(2n－1)＝2n＋1－2， 故an＝ (2)证明　由(1)知a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2， ∴＝，＝. 又2n－1≥2n－1，∴≤， 2n＋1－2≥2n，∴≤， 故≤，≤， 则T2n＝＋＋…＋＋ < ＋ ＝＋ ＝2＋ ＝3－3<3， 故T2n<3. 3.(1)解　(n－2)Sn＋1＋2an＋1＝nSn， 则(n－2)Sn＋1＋2(Sn＋1－Sn)＝nSn， 整理得nSn＋1＝(n＋2)Sn， 故＝， 故是常数列， 故＝＝1， 即Sn＝n(n＋1)， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－n(n－1)＝2n，验证n＝1时满足，故an＝2n. (2)证明　＝< ＝， 故＋＋…＋<＋(－＋－＋…＋－) ＝＋<＋× ＝<. 4.(1)解　由qn＋1＝2－知qn＋1＝， 故－＝＝1＋， 即－＝1， 所以数列成等差数列， 所以＝＋(n－1)×1＝n， 所以qn＝. (2)证明　由＝＝qn， 得＝q＝， 于是a2n＋1＝··…··a1 ＝··…··1 ＝(n＋1)2， 所以a2n＝＝n(n＋1)， ＋＋…＋＋ ＝＋ ＝＋ <＋ ＝2－＋1－＝3－－， 所以＋＋…＋＋<3－－. 学科网（北京）股份有限公司 $$