江苏省扬州中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

江苏省扬州中学 2023-2024 学年高一年级12月考 2023.12.16 数 学 试 卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题有实数根，若是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．以上都不对 3．在平面直角坐标系中，角和的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，若角和的终边关于轴对称，则下列关系式一定正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4．已知函数（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于的方程，则的最小值为（    ） A．9 B．24 C．4 D．6 5．已知为锐角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 8．若函数同时满足：①定义域内任意实数，都有；②对于定义域内任意，当时，恒有；则称函数为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设，，则（    ） A． B． C． D． 10．下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（    ） A． B． C． D． 11．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 12．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若方程有4个不同的解，则实数k的取值范围为 B．关于x的方程有个不同的解 C．对于实数，不等式恒成立 D．当时，函数的图象与x轴围成的图形的面积为1 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知幂函数在上单调递增，则的解析式是 . 14．函数的定义域为 . 15．数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是 . 16．设函数，方程有四个不相等的实根，则的取值范围是 . 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知 ， . （1）若m=3，求； （2）若，求实数m的取值范围. 18．化简或计算下列各式： (1)； (2). 19．已知. (1)若，且，求的值； (2)若，求的值. 20．已知某公司生产的一新款手机的年固定成本为万元，设该公司一年内共生产这种手机万部并全部销售完，且每万部的销售收入为万元，生产这种手机每年需另投入成本万元，且当.时，，当时，. （1）写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式（年利润年销售收入年成本） （2）年产量为多少万部时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 21．已知定义域为R的函数是奇函数． (1)判断的单调性，并证明； (2)解关于的不等式． 22．对于函数. (1)若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围； (2)设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围． 参考答案： 一、单选题 1．D 2．B 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．A 二、多选题 9．CD 10．AC 11．ABD 12．AC 三、填空题 13． 14． 15． 16． 四、解答题 17． （1）若m＝3，， ， 所以A∩B＝(2，5]. （2）因为，由题意得：， ， 因为A∪B＝B，有A⊆B，则有：， 解得：； 所以实数m的取值范围为. 18． （1）原式＝ （2）原式＝ 19． （1）由已知， 由题意， 则； （2）由，可知， 令，则， 20． （1）当时，， 当时，， . （2）若，， 当时，； 若，， 当且仅当，即时，， 答：年产量为万部时，该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 21． （1）因为是定义在R上的奇函数，则， 即 ，解得， 所以，故在R上是递减函数． 证明：任取、，且， ，， ∴，即，故是定义在R上的递减函数； （2）∵，∴， 是R上的奇函数，∴， 是R上的减函数，∴， ∴，解得， ∴不等式的解集为． 22