2.6.2 双曲线的几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

平面解析几何 2.6.2 双曲线的几何性质 1 复习回顾 双曲线的定义 | |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|） 图象 标准方程 a,b,c的关系 2 课程标准 1.了解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等）； 2.了解双曲线的渐近线，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 3 学习 目标 一 二 三 掌握双曲线的简单几何性质.(直观想象) 理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(逻辑推理) 通过具体实例初步了解直线与双曲线相交的相关问题.(数学运算) 学习目标 重点：双曲线的几何性质，双曲线各元素之间的相互依存关系，特别是双曲线的渐近线的性质 难点：有关双曲线的离心率、渐近线的问题 本课导入 下面我们由双曲线的方程来研究双曲线具有的几何性质 已知双曲线C 的方程为，根据这个方程完成下列任务： （1）观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C 在平面直角坐标系中的位置特征； （2）指出双曲线C 是否关于x轴、y轴、原点对称； （3）指出双曲线C 与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； （4）如果(x,y)满足双曲线C 的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点 新知讲解 一般地，如果双曲线C 的标准方程是 我们可以根据方程得到双曲线什么样的几何性质呢？ 6 新知讲解 1．范围 观察平面直角坐标系中的双曲线，它有怎样的范围？能利用它的方程给出证明吗？ 双曲线上点 (x, y)都满足 所以，即 x2≥a2，所以 |x|≥a (a＞0)． 双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内． a -a O x F1 F2 y 7 新知讲解 2．对称性 如果是方程①的一组解，则不难看出， 都是方程的解， 和关于x轴对称，所以双曲线关于x轴对称 和关于y轴对称，所以双曲线关于y轴对称 关于原点对称，所以双曲线关于原点对称 双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的． 坐标轴是双曲线的对称轴． 原点是双曲线的对称中心． 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心． O x y =1(a>0,b>0) 8 新知讲解 3．顶点 在方程①中，令y＝0，得x＝±a， 双曲线和x轴有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) ， 叫做双曲线的顶点． 令x＝0，得y2＝－b2， 这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点. 特殊点B1(0,－b)、B2(0, b). 线段A1A2 叫做双曲线的实轴．线段B1B2叫做双曲线的虚轴. 实轴的长等于2a．虚轴的长等于2b． a叫做双曲线的实半轴长．b叫做双曲线的虚半轴长 特别的，实轴长与虚轴长相等的双曲线成为等轴双曲线． =1(a>0,b>0) y O x A1 A2 B2 B1 9 新知讲解 4．渐近线 由方程可以看出，如果是双曲线上一点，则增大时， 也是增大的.这就是说，双曲线向四周无限延展，那么，这种无限延展还有什么性质呢？ 考虑到双曲线关于坐标轴和原点对称，因此我们只需了解双曲线在第一象限内的情况即可。 在第一象限内，双曲线的方程可以改写为 因为时， 这说明在第一象限内，双曲线一定在直线的下方；又因为此时如果越来越大，则， 双曲线会越来越接近直线. 10 新知讲解 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 11 新知讲解 从几何直观上来看： 双曲线在四个象限，四个方向上无限接近两条直线y=±x，但又始终不相交， 从代数角度上来看： 计算双曲线上的点P到渐近线的距离d, 对于第一象限：当x，d≠0 无限接近，但又始终不相交， 我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线 双曲线怎样做，才更准确？ 12 新知讲解 5．离心率 同椭圆的情形一样，双曲线的半焦距与半长轴长之比 称为双曲线的离心率. 尝试与发现 （1）根据双曲线离心率的定义，判断双曲线离心率的取值范围； 因为 ，所以. 13 新知讲解 , 所以越趋近于1，的值越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄. （2）猜想双曲线离心率的大小与双曲线的形状有什么联系，并尝试证明. 14 总结归纳 关于x轴、y轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 A1（- a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 渐近线 * * 15 典例讲解 例1. 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率以及渐近线方程：（1） （2） （1）由标准方程知双曲线焦点在x轴上, 且， 因此实轴长. 又因为,即. 因此,双曲线焦点坐标为. 离心率. 渐近线方程为 （2）双曲线的方程可化为 双曲线的焦点在轴上，且， 实轴长. 又因为，即. 因此，双曲线