湖南师范大学附属中学2024届高三上学期月考(四)数学试卷

湖南师大附中2024届高三月考试卷（四） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若随机事件A，B满足，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是公比不为1的无穷等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，，且，则（ ） A B. C. D. 5. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上所有零点的和等于（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 点M是椭圆上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、 9. 已知双曲线过点，且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的离心率为 C. 曲线经过的一个焦点 D. 直线与有两个公共点 10. 已知向量，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，正方体的棱长为2，点是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点，使得二面角大小为 B. 存在点，使得平面与平面平行 C. 当P为棱中点且时，则点M的轨迹长度为 D. 当为中点时，四棱锥外接球的体积为 12. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（ ） A. 在内单调递增； B. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为； C. 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是； D. 和之间存在唯一的“隔离直线”. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知函数的图像在点处的切线方程是，则＝______． 14. 如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形，若，，则的面积为________． 15. 已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为______． 16. 在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则|的最小值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数的最小值为. （1）求函数的最大值； （2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，且函数在上为增函数，求的最大值. 18. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B采取领先3局者获胜,每局不存在平局.假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响. （1）求甲班在项目A中获胜的概率； （2）若第二个比赛项目B进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜.现比赛已经进行了2局，甲班2局全输.设甲班在第二个比赛项目B中参加总局数为X、求随机变量X分布列及期望. 19. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上. （1）若P是的中点，证明：； （2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积. 20. 如图，曲线C由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为A，B，其中的离心率为. （1）求a，b值； （2）过点B的直线l与，分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数，. （1）若的最大值是0，求的值； （2）若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围. 22. 设数列的前n项之积为，满足（）. （1）设，求数列的通项公式； （2）设数列的前n项之和为，证明：. 湖南师大附中2024届高三月考试卷（四） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分