上海市松江二中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷

松江二中 2023 学年第一学期 12 月学情调研 高二数学 一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4分,第 7-12 题每题 5分) 1. 已知复数 z 满足 3 0z z + = ,则 | |z = . 2.已知 ( ) ( )0,1, , 0, , 3a m b n= = − 分别是平面 , 的法向量,且 // ,则mn = . 3.如图,在三棱锥D ABC− 中, 3AC BD= ,且 AC BD⊥ ,E ,F 分别是棱DC , AB 的中点, 则 EF 和 AC 所成的角等于_. 4.若投掷 3枚硬币,则恰有两枚正面朝上的概率为_. 5.过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的截面,则截面面积与球 的一个大 圆面积之比为_. 6.中国古代儒家提出的“六艺”指:礼､乐､射､御､书､数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程 讲座活动,周六这天准备排课六节,每艺一节,则 “礼”与“乐”不能相邻,“射”和“御”要 相邻的排法种数是 . 7.已知数列{ }na 前 n项和为 nS ,且满足 2n nS a+ = ,则 5S = . 8.已知一个圆台的上、下底面半径分别为 2,4,它的侧面展开图扇环的圆心角为 90 ,则这个圆 台的侧面积为 . 9.某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖,每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩 偶中的一个.小明购买了 4 个盲盒,则他能集齐3个不同动漫角色的概率是_. 10.在直三棱柱? ? ? − ? 1? 1? 1中,? ? = ? ? = ? ? = ? ? 1 = 2, 则点? 到平面? ? 1? 1的距离为 . 11.已知棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中, E 为侧面 1 1BB C C 中心, F 在棱 AD 上运动,正方体表面上有一点 P 满足 1 1 1D P xD F yD E= + ( 0, 0)x y ,则所有满足条件的 P 点构成图形的面积为_. 12.在三棱锥 A BCD− 中, 7AB BC CD DA= = = = , 2 3BD = ,二面角 A BD C− − 是钝角.若三棱锥 A BCD− 的体积为2 .则三棱锥 A BCD− 的外接球的表面积是 . 二、选择题(本大题共有 4 题,满分 18 分,第 13-14 题每题 4分,第 15-16题每题 5 分) 13. 下列命题中,是真命题的是( ) A.若直线 l平行于平面 内的无数条直线,则 l ∥ B.若直线a在平面 外,则a 平面 C.若直线a b,直线b 平面 ,则a 平面 D.若直线 ,a b b∥ 平面 ,则a平行于平面 内的无数条直线 14.已知事件 A 与事件 B 是互斥事件,则( ) A. )( 0P A B = B. )( )( )(P A B P A P B = C. )( )(1P A P B= − D. )( 1P A B = 15. 如图 1,一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块,容器内盛有a 升水.平放在 地面,则水面正好过圆锥的顶点P ,若将容器倒置如图 2,水面也恰过点P . 以下命题正确的是( ) A.圆锥的高等于圆柱高的 2 1 ; B.圆锥的高等于圆柱高的 3 2 ; C.将容器一条母线贴地,水面也恰过点P ; D.将容器任意摆放,当水面静止时都过点P . 16. 已知样本空间为 ,x 为一个基本事件.对于任意事件 A,定义 ( ) 0, 1, x A f A x A = ,给出下列结论: ① ( ) 1, ( ) 0f f= = ;②对任意事件 A,0 ( ) 1f A ;③如果 A B = ,那么 ( ) ( ) ( )f A B f A f B= + ; ④ ( ) ( ) 1f A f A+ = .其中,正确结论的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、解答题(本大题共有 5题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 17.(本题满分 14 分,第 1小题满分 6分,第 2 小题满分 8分) 直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− , //AB DC, AB AD⊥ , 2AB = , 3AD = , 4DC = . (1)求证:平面 1 1ABB A ⊥平面 1 1ADD A ; (2)若四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 的体积为 36,求二面角 1A BD A− − 的大小. 图1 P 图2 P 18.(本小题满分 14分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分) 设 29 29 28 27 2 290 1 2 29( , ) (2 3 )f