2024届高三数学二轮复习培优练4：数列的递推关系

培优练4 数列的递推关系 一、基本技能练 1.数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a100＝(　　) A.2100＋1 B.2101 C.2100－1 D.2100 2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则满足an>的n的最大取值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 3.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝(　　) A.47 B.48 C.49 D.410 4.设数列{an}的前n项和为Sn, 若Sn＝2an－2n＋1，则S10＝(　　) A.211－23 B.210－19 C.3×210－23 D.3×29－19 5.在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2，若an>980，则n的最小值是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 6.已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋an·an＋1，则数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C.－n D. 7.已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式为________. 8.设正项数列{an}满足a1＝2，an＝2a(n≥2)，则数列{an}的通项公式是________. 二、创新拓展练 9.(多选)(2023·青岛质检)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A.为等比数列 B.{an}的通项公式为an＝ C.{an}为递增数列 D.的前n项和Tn＝3n－n 10.(2023·宁波模拟)已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x的最大整数(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，则＋＋…＋＝(　　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 参考答案 1.C　[数列{an}中，an＋1＝2an＋1， 故an＋1＋1＝2(an＋1)， 因为a1＝1，所以a1＋1＝2≠0， 所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1， 故a100＝2100－1.] 2.C　[因为an＋1＝，所以＝4＋， 所以－＝4， 又＝1，数列是以1为首项，4为公差的等差数列， 所以＝1＋4(n－1)＝4n－3， 所以an＝，由an>，即>， 即0<4n－3<37，解得<n<10， 因为n为正整数，所以n的最大值为9.] 3.C　[由题意a1＋a2＝4， 由an＝3an－1＋4an－2(n≥3) 得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)， 即＝4(n≥3)， 所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.] 4.C　[当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2＋1， 解得a1＝1. 当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋3， 所以an＝Sn－Sn－1 ＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)， 即an＝2an－1＋2， 所以an＋2＝2(an－1＋2)，即＝2， 所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列， 则an＋2＝3×2n－1，从而Sn＝3×2n－2n－3， 故S10＝3×210－23.] 5.C　[因为an＝2an－1－n＋2， 所以an－n＝2[an－1－(n－1)]. 因为a1＝3，所以a1－1＝2，所以数列{an－n}是首项和公比都是2的等比数列， 则an－n＝2n，即an＝2n＋n. 因为an－an－1＝2n－1＋1>0， 所以数列{an}是递增数列. 因为a9＝521<980，a10＝1 034>980，所以满足an>980的n的最小值是10.] 6.D　[由题意，可得an＋1＝an＋an·an＋1， 即－＝－1. 又＝，所以数列是以为首项，公差为－1的等差数列， 所以＝－(n－1)＝－n， 所以an＝.] 7.an＝2n　[由已知得an＋1－an＝2n， 当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋2＋22＋…＋2n－1 ＝2＋＝2n， 又a1＝2，也满足上式，故an＝2n.] 8.an＝22n－1　[原式两边同时取以2为底的对数， 得log2an＝1＋2log2an－1(n≥2)， 即log2an＋1＝2(log2an－1＋1). 设bn＝log2an＋1，则bn＝2bn－1(n≥2)， 又b1＝1＋log2a1＝2， 所以{bn}是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以bn＝2×2n－1＝2n， 所以log2an＋1＝2n，所以an＝22n－1.] 9.AB　[因为an－3an＋1＝2an·an＋1，