1.4 有理数的大小比较 讲义 2023——2024学年浙教版数学七年级上册

1.3 有理数的大小比较 引言 绝对值是初中数学和小学数学的一个分水岭，也是数学科目中考点。 绝对值为什么这么受欢迎？我们知道，小学数学的问题几乎不涉及分类讨论，中学阶段的数学难题差不多都要分类讨论。而分类讨论的“始作俑者”就是绝对值。而且，绝对值还有一个很重要的意义：这是代数和几何第一次有了真正意义上的相互结合的知识点。也就是说，这个代数概念是具有几何意义的。某个数的绝对值，是指该数在数轴上对应的点到坐标原点的距离，而距离是没有负的。当然，我们要严格定义“距离”，那是大学数学才干的事情，作为中学生来说，距离的概念更多来源于生活。 假如用代数的形式来表示绝对值的话，那么可以得到： 换句话说，绝对值的结果一定是非负的。绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0。 这看起来是一句正确的“废话”，但它既可以被视为解题的思路，也可以被看作检查的利器——在计算的过程或者结果中，如果你看到运算出来的绝对值是负数了，那就好好再看看吧。这种低级错误在考试中还是比较常见的，而且很多都是程度相当不错的学生在犯。 所以，低级错误并不会因为大家的数学水平高低而区别对待，对所有考生真的是一视同仁。但利用上述常识，你就可以进行规避。一般来说，绝对值化简是绝对值学习的第一步。 绝对值 如下图，是浙教版课本中给出的有理数大小标记的方法 其一是利用数在数轴上的位置关系进行比较 其二是法则比较法，下面按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 如图，观察以下例题，回答我们采用了何种方法来比较下列数的大小？请尝试用不同的方法来解答以下例题。并比较两种方法的优缺点？ 作差法 应用有理数（式子）的减法运算可以比较两个有理数（式子）的大小,这就是“作差法”,既要比较两个有理数（式子）A与B的大小，可先求出A与B的差A-B，再通过其结果进行判断。作差法和作商法是比较两数（两式）大小的两种常用方法。 倒数法 倒数法：分子和分母数较大，还可以用比倒数的方法，倒数大的那个分数小，倒数小的那个分数大。 巩固练习 1. 比较下列每组数的大小（要求写出推理过程） （1）-（+）和0                    （2）-和- 2.【通过作差法比较有理数大小】 阅读材料：若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b．运用此方法可进行有理数的大小比较，如比较5与3的大小．因为5-3=2>0，所以5>3，我们把这种比较大小的方法叫作“求差法”． （1）请用“求差法”比较大小：与； （2）请运用不同于（1）的方法比较与的大小. 3. 【倒数法】有两个分数A=，B=，问：A与B哪个大？ 4. 如图，数轴上有点a，b，c三点 （1）用“＜”将a，b，c连接起来． （2）b﹣a　 　1（填“＜”“＞”，“＝”） （3）化简|c﹣b|﹣|c﹣a+1|+|a﹣1| （4）用含a，b的式子表示下列的最小值： ① |x﹣a|+|x﹣b|的最小值为　 　； ②| x﹣a|+|x﹣b|+|x+1|的最小值为　 　； ③|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为　 　． 5.【有理数大小比较的实际运用】一种圆形的机器零件规定直径为200毫米，为检测它们的质量，从中抽取6件进行检测，比规定直径大的毫米数记作正数，比规定直径小的毫米数记作负数．检查记录如下： 1 2 3 4 5 6 0.2 -0.1 -0.3 0.1 0 -0.2 （1）第几号的机器零件直径最大？第几号最小？并求出最大直径和最小直径的长度； （2）质量最好的是哪个？质量最差的呢？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 有理数的大小比较 引言 绝对值是初中数学和小学数学的一个分水岭，也是数学科目中考点。 绝对值为什么这么受欢迎？我们知道，小学数学的问题几乎不涉及分类讨论，中学阶段的数学难题差不多都要分类讨论。而分类讨论的“始作俑者”就是绝对值。而且，绝对值还有一个很重要的意义：这是代数和几何第一次有了真正意义上的相互结合的知识点。也就是说，这个代数概念是具有几何意义的。某个数的绝对值，是指该数在数轴上对应的点到坐标原点的距离，而距离是没有负的。当然，我们要严格定义“距离”，那是大学数学才干的事情，作为中学生来说，距离的概念更多来源于生活。 假如用代数的形式来表示绝对值的话，那么可以得到： 换句话说，绝对值的结果一定是非负的。绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0。 这看起来是一句正确的“废话”，但它既可以被视为解题的思路，也可以被看作检查的利器——在计算的过程或者结果中，如果你看到运算出来的绝对