6.1幂函数（课件+教学设计）-2023年江苏省高中数学优质课比赛（连云港新海高级中学）

课题：6.1 幂函数 教材：苏教版必修第一册 · 教学目标 1.了解幂函数的概念，会画出幂函数的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质. 2.了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小. 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题，进一步体会数形结合思想． · 教学重难点 · 教学重点：幂函数图象与性质的理解． 教学难点：掌握幂函数在第一象限的分类特征． · 教学方法与教学手段 1.教学方法：问题教学法、合作学习法. 2.教学手段：多媒体投影、PPT课件、GGB作图软件. · 教学过程 一、问题情境 在中，如果只给定三个数中的一个数，那么就成为另外两个数之间的“函数关系”，如：，，. 上述的关系中，可得到怎样的函数模型？ 情境1：长方形的其中一条边长为，另外一条边长为1，则面积. 若长方形的面积为1，其中一条边长为，则另外一条边长. 情境2：正方体的边长为，体积. 情境3：正方形的面积为，边长. 二、学生活动 问题1：这些函数的表达式有什么共同特征？ 观察对比可得：这些函数的表达式是一个指数幂的形式，底数是自变量，指数是常数. 追问：如何定义幂函数？ 一般地，我们把形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.【设计意图】通过数学情境引入幂函数具体实例，从5个函数的表达式发现它们的共同特征，引出幂函数概念. 3、 建构数学 问题2：结合以往研究函数的经验，你认为可以从哪些方面研究幂函数？ 【设计意图】引导学生思考，结合第5章讨论的函数的基本内容，主要从函数的定义域、值域、图象、单调性、奇偶性等，来认识一些幂函数的性质. 问题3：写出下列函数的定义域，并判断下列函数的奇偶性吗？ 【设计意图】引导学生，观察解析式，通过代数运算可以判断函数的奇偶性. 问题4：让学生在同一坐标系中画出函数的图象，教师用GGB展示，并且画出图象，观察图象，这4个函数有怎样的共同特征？应用 讨论可得：（1）函数的图象都过定点； （2）在第一象限内，函数的图象随的增大而上升，函数在区间上单调递增.（教师在黑板上板书）.一般地，对于函数，当时，也具有上述两条性质. 【设计意图】对于不熟悉的幂函数，让学生动手画图，通过师生共同探究当幂函数的共同特性，贯彻由特殊到一般的思想，培养学生形成归纳猜想的基本能力. 4、 数学运用 例1 比较下列各组数的大小 【设计意图】引导学生思考解决问题的方法： （1）对于前2组数，每组的数中，底数不同而指数相同，考虑构造1个幂函数，利用幂函数的单调性来研究. （2）对于第三组数，第一个和第三个数底数不同，指数也不同，但是有一个1，可以用1当作桥梁来过渡. 5、 建构数学 问题5：一般地，对于函数，当时，函数会有哪些共同特性？ 观察图象，（1）函数的图象都过定点； （2）在第一象限内，函数的图象随的增大而下降，函数在区间上单调递减.（教师在黑板上板书）.一般地，对于函数，当时，也具有上述两条性质. 观察图象，幂函数有哪些共同特性呢？ （1） 函数的图象都经过点； （2） 函数的图象都经过第一象限， 都不经过第四象限. 【设计意图】类比时的研究方法，对于时，先由特殊幂函数入手，用GGB在同一个坐标系中画出函数的图象，观察图象，总结出时幂函数的共同特性.教师再指出时的这种特殊情况.最后将几个图象放在同一个坐标系中观察一般地幂函数有哪些共同特性，指出在画幂函数图象时可先画出第一象限内的图象，如果具备奇偶性，可根据对称性画出第二或者第三象限内的图象. 6、 回顾小结 1.知识：幂函数的概念，幂函数的图象和性质. 2.思想方法：研究具体函数的方法，数形结合、分类讨论、特殊到一般的方法，构造函数解决问题的方法. 7、 课外作业 教材习题6.1第1，2，3，4题. · 教学设计说明 · 为了使学会研究函数的一般方法，掌握数学建模的一般过程，本节以数学情境为突破口，通过设计恰当的问题情境，引导学生对问题情境进行分析，提出数学问题，进而通过建立数学模型解决问题.在数学模型建立后，结合函数图象进一步对幂函数的性质进行研究，并利用性质去解决问题. 建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授获得的，而是学习者在一定的情境即社会文化背景下，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得的。本课教学设计重点是学习环境的设计，强调学生自主学习。关注学生的学习兴趣和经验，引导学生主动参与、乐于探究、培养学生处理问题的能力。本节课的设计思想中体现着由特殊到一般，分类讨论等方法。通过对具体幂函数的图象分析，可以进一步分析一般幂函数的性质. 本课教学内容是按照一般函数的研究路径：背景-概念-图象和性质