6.1幂函数（课件+教学设计）-2023年江苏省高中数学优质课比赛（海门中学）

6.1幂函数 教学设计 【教材分析】 函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界变量关系及其规律的基本语言和工具，在解决实际问题中发挥着重要作用.幂函数是苏教版普通高中数学教科书必修第一册第6章《幂函数、指数函数和对数函数》的第一节内容，是学生进入高中后遇到的第一个基本初等函数模型. 与旧教材比较，调整到了指数函数与对数函数之前，是因为初中已经接触过特殊的幂函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等，学生有一定认知和研究的经验，切合学生认知的起点；第4章《指数与对数》的学习为本节内容打下了运算基础，第5章《函数的概念与性质》的学习为本节课运用图象和代数方法研究幂函数明确了方向和目标.同时，幂函数的学习也为后续研究指数函数、对数函数和三角函数等一类函数的概念与性质提供了研究路径与策略，因此本节内容具有示范和呈上启下的作用. 【教学目标】 　1. 了解幂函数的概念，会画出幂函数，，，，的图象，根据上述幂函数的图象，理解它们的变化规律. 2. 了解几个常见的幂函数性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小. 3. 经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想． 【教学重点】 幂函数的概念、从五个具体的幂函数的图象归纳理解幂函数的性质． 【教学难点】 依据性质画出五个幂函数的图象，并借助图象探究幂函数中指数对图象与性质的影响. 【教学过程】 引 言 发明考证，洞悉源流.——沈括 同学们，初中时我们已经学习过了函数，知道函数是刻画变量关系的重要数学模型，前面一章，我们又借助集合的语言重新认识了函数的概念与性质，那么本节课，就让我们一起带着函数的眼光去发现和探究生活中常见的变量关系，洞悉它们的源与流. 一、创设情境、提出问题 情境问题 面积为1的矩形边长，两个变量，随着的变化，可以用表示为？随着的变化，又可以用表示为？它们之间是函数关系吗？从中可以抽象出哪一个函数？若矩形的一条边长为1，由面积与另一边长之间的关系，又可以抽象出哪个函数？进一步，随着正方形边长的变化，面积可以用表示为？随着的变化，又可以用表示为？类似的，由正方体的体积与棱长的关系，又可以抽象出哪些函数呢？ 【设计意图】通过生活中的基本图形发现变量关系，抽象函数模型，渗透数形结合思想.用函数的眼光思考变量关系是否满足函数定义，回忆函数定义和初中学习过的三个具体函数的定义，抽象出6个特殊的幂函数，为类比得出幂函数的定义铺垫. 考虑到学生的认知水平和幂函数是学生进入高中后学习的第一个具体函数，以及后续教材内容的设置，采用学生熟知的生活情境入手，挖掘变量关系，抽象函数关系. 二、抽象概括、形成定义 问题1 观察函数，，，，，的解析式，你能发现它们具有哪些共同的特征？ 预 设 表达式是指数幂的形式；底数是自变量；指数是常数. 追 问 可以用一个统一的式子表达吗？ 【设计意图】观察6个函数解析式，引导学生从函数表达式的形式，自变量的位置，指数三个角度概括共同特征，在交流讨论中提升学生抽象概括和数学符号语言表达能力． 问题2 根据幂函数的定义你能再写几个幂函数吗？ 【设计意图】通过学生举例和判断，可以评价其是否正确理解了幂函数的概念.在举例的过程中让学生了解幂函数概念的三个特征. 三、回顾经验、探寻方法 有了幂函数的定义，接下来自然要对其展开进一步的研究. 问题3 结合《函数的概念与性质》的学习，我们要研究幂函数的哪些内容？ 如何研究幂函数的图象与性质呢？ 我们不妨回忆一下初中时是如何研究二次函数的图象和性质的. 结合前面一章的学习，我们又从数的角度重新定义了函数的图象与性质，那么在具体函数的研究的方法上面会不会带来新的思路呢？ 【设计意图】通过回忆前面一章的学习，明确接下来研究的内容.回顾初中二次函数的图象与性质的研究方法，通过高中对函数的图象与性质的重新认识，思考是否会对研究具体函数产生新的思路. 四、活动体验、探究性质 1. 梳理研究路径 接下来让我们站在高中的视角重新梳理一下初中熟知的三个幂函数的象 与性质，看看是否会有新的感悟. 活动1 结合《函数的概念与性质》一章讨论的基本内容，完成下面的表格. 学生完成表格，展示交流. 追 问1 你是如何判断的定义域和值域的？奇偶性和单调性是如判 断的？ 追 问2 不利用图象，你能判断它的奇偶性吗？单调性呢？ 追 问3 根据性质能否发现图象特征？ 的定义域为说明图象有什么特点？ 的值域为说明图象有什么特征？ 偶函数说明图象有什么特点？单调性呢？ 【设计意图】让学生用高中的语言重新梳理熟知的幂函数的图象与性质,感受初高中看问题的不同角度.通过追问让学生明确得到图象和性质的方法，即从数和