圆的切线与切点弦（课件+教学设计）——2023年江苏省高中数学优质课比赛(前黄高级中学周大勇)

圆的切线与切点弦教学设计 江苏省前黄高级中学 周大勇 教材分析 “圆的切线与切点弦”是苏教版高中数学教材选择性必修第一册第2章《圆与方程》的“问题与探究”版块内容，属于圆这一章主体知识的延伸与拓展。本节课以“过圆上一点的切线方程”为切入点，探究当点处于不同位置时，直线的特殊性质.本节课作为章末的探究课，以直线与圆的位置关系为基础，让学生通过观察、猜想、论证，经历探究相关主题的过程，进一步感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路.即建立方程，利用方程研究曲线的性质.本节课又在“阅读”《数学问题（节选）》之前，引导学生不断提出新的问题，体会从特殊到一般，再到更一般的过程. 教学目标 (1)经历从特殊到一般，再到更一般的过程，让学生学会提出问题，提升学生思维。 (2)初步形成数学探究活动经验和数学研究基本方法，经历从观察，到猜想，再到论证的数学探究过程; (3)在探究过程中，进一步感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路，即建立方程把几何问题代数化， 再通过代数方法研究几何性质. 教学重点: 经历从特殊到一般，再到更一般的过程，让学生学会提出问题. 教学难点：经历观察、发现、猜想、论证的数学探究过程. 过程设计 1、 情境引入 情境1：亚运会链球视频 师：链球加速过程中，链球的轨迹可以近似看成什么图形？ 生：圆 师：链球延什么方向甩出去的？ 生：切线 情境2： 师：我们再来欣赏解析几何创始人笛卡儿的一句名言：“求切线不但是我所知道最有用最一般的问题，而且甚至可以说，是我唯一想要在几何学里知道的问题.” 师：那么，曲线的切线问题到底有着怎样的魅力呢？今天，我们以圆的切线问题为例，和镇江一中的同学们来一探究竟. 【设计意图】从生活情境和数学文化两个角度引入，增加学生兴趣. 2． 问题初探（观一剑而识千器） 特例：已知为圆上一点，则圆O的过点P的切线的方程为_. 引例：若为圆上一点，你能猜想出圆O的过点P的切线的方程吗？ 如何证明？ 策略1：求k(以解代证) 方法1： 方法2：或判别式法求斜率 策略2：执果索因 方法3：证明 方法:4：轨迹法（） 结论1：若在圆上，则为圆的切线. 【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，引导学生像数学一样思考，特殊情况是否具备一般性,也是问题的提出的原因. 师： 再看结论1，这条直线很特殊，从几何角度，它是切线；从代数结构角度，它和圆的方程结构一样. 既然这条直线这么特殊，我们今天就来研究这条直线. 【设计意图】引出本节课研究的明线：随着与圆的位置关系的变化，表示怎样的直线. 2、 问题再探 【探究一】（触一类而通旁枝） 若在圆外，则直线表示怎样的直线? 观察： 我们只知道直线和圆相交，先画一条和圆相交的直线， 观察这条直线的特征，两个交点记作A，B,由结论1可知，我们可以作出过点A，B 的切线，那么的交点是点P吗？ 猜想：的交点是点P. 你能证明吗？请小组讨论.请把证明过程写出来. 论证： 证法一： 设 由结论1可知：切线， 又在上， 所以 所以在上 同理，在上. 所以是两条切线的交点. 师：我们设出了点P、点A、点B，并未求解，这种方法我们称为设而不求. 【设计意图】由线定点，突破难点. 师：如果这条直线定了，我们就可以作出点P，反过来，点P定了，你能作出直线吗？请在学案上完成. （投影学生作图） 师：你说说你的做法理由. 生：点P是A,B两个交点处切线的交点，那么PA，PB就是过点P作的圆的两条切线，切点为A，B. AB这条直线即为所求. 【设计意图】回到以点定线，考虑完备性. 师：作图过程中，怎样保证？ 生：以OP为直径作圆，与圆O的两交点即为A,B. 【设计意图】作图更严谨，也为求切点弦所在直线方程作铺垫. 师：非常好！我们把AB这条弦称为切线弦. 这就是我们要研究的第二个内容：切点弦(补全课题) 我们就得到了第二个结论. 结论2：若在圆外，则直线为圆的切点弦所在直线. 师：还有其他求切点弦所在直线方程的方法吗？ 法二： 法三： 法四： 过P作圆O的切线，切点分别为 由结论1可知：切线， 又在切线上，所以. 同理，. 所以点的坐标满足方程：， 即两点在直线上， 所以切点弦所在直线即为. 法五： 设直线l上任意一点， 则. 设直线AB交OP于点T， 在直线三角形OAP中，有 于是 师：更多的证明方法请同学们课后进一步探究.回顾我们探究一的探究过程. . 小结：（1）探究方法：观察--猜想--论证. （2）研究新问题时不仅可以利用已有的方法，还可以利用已有的结论. 师:P点在圆上、圆外我们研究好了，下面我们研究P点在？ 生：圆内. 师：此时直线和圆的位置关系是？ 生：相离 师：有没有其他几何意义，我们继续探究。 【探究二】（举一隅而反三隅） 若在圆内，则直线表