3.2.2 奇偶性（课件+作业）-新教材高中数学必修第一册【优化指导】人教A版

3.2.2　奇偶性 课程标准 核心素养 结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 通过对函数奇偶性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养. [对应学生用书P40] 知识点　奇偶性 (1)偶函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝_f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数． (2)奇函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数． [微思考] 具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示：定义域关于原点对称． [微体验] 1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．] 2．函数f(x)＝在区间(0,1)内(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既不是奇函数又不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 C　[f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性．] 3．函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1　 B．0　　 C．1　 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.] 4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)＝3，则f(－2)＝__________. 解析　∵f(x)为R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)＝3. 答案　3 [对应学生用书P40] 探究一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|； (3)f(x)＝. 解　(1)f(x)的定义域是R， 又f(－x)＝＝－f(x)， ＝－ ∴f(x)是奇函数． (2)f(x)的定义域是R， 又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数． [方法总结] 1．定义法判断函数的奇偶性 2．图象法判断函数的奇偶性 [跟踪训练1]　(1)判断下列函数的奇偶性： ①f(x)＝(x－2) ； ②f(x)＝x|x|. 解　①由≥0，得定义域为[－2,2)，不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数． ②函数的定义域为R，因为f(－x)＝(－x)|－x|＝－x|x|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (2)已知函数f(x)＝试判断函数f(x)的奇偶性． 解　函数f(x)的定义域为R，关于原点对称． 当x<0时，－x>0， f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3 ＝－(x2＋2x＋3)＝－f(x)； 当x＝0时，－x＝0，f(－x)＝f(0)＝0＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3 ＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)． ∴f(x)是R上的奇函数． 探究二　奇、偶函数的图象及应用 如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小． 解　方法一：∵函数f(x)是偶函数， ∴其图象关于y轴对称，补全图象如下图． 由图象可知f(1)＜f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是偶函数， ∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．∴f(1)＜f(3)． [变式探究]　只将本例中的“偶”改为“奇”呢？ 解　方法一：∵函数f(x)是奇函数， ∴其图象关于原点对称，补全图象如下图． 由图象可知f(1)＞f(3)． 方法二：由图象可知f(－1)＜f(－3)． 又函数y＝f(x)是奇函数， ∴f(－1)＝－f(1)，f(－3)＝－f(3)． ∴－f(1)＜－f(3)．∴f(1)＞f(3)． [方法总结] 奇、偶函数图象对称性的两大应用 应用一：巧作函数图象． (1)奇函数图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称． (2)根据以上奇、偶函数图象对称性的特点可以解决已知奇、偶函数在某区间的部分图象，画出其关于原点或y轴对称的另一部分的图象问题． 应用二：求函数最值、单调性问题． 函数的奇偶性反映到图象上是图象的对称性，可以利用图象解决关于原点对称的区间上的函数值的有关问题，也可以解决关于原点对称的区间上的函数的单调性问题，同时可以简化解题过程． 探究三　函数奇偶性的简单应用 (1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f的值为(　　) A．　 B． C．1　 D．无法确定 (2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. (1)B　[奇函数定义域关于原点对称，∴2b－5＋2b－3＝0，即b＝