圆的切线与切点弦（课件+教学设计）-2023年江苏省高中数学优质课比赛

《圆的切线与切点弦》教学案 教材：苏教版选择性必修第一册 1 教学内容解析 本节课的内容选自《普通高中教科书·数学》（苏教版）选择性必修第一册第2章《圆与方程》章末“问题与探究”，是在解析几何背景下以“圆的切线与切点弦”为主题的数学探究活动课． 从教材内容的角度：本节内容以解析几何基本思想为指引，以数学探究为活动形式，以“圆的切线与切点弦”为教学载体，研究点与直线的“对应组”和圆之间的位置关系（图1），深入体会点在圆上、圆外、圆内三种情况及三者之间的相互递推的逻辑关联．作为数形结合的典范，本节课将几何问题转化为代数问题，从方程出发研究图形，用代数方法研究几何性质．从形到数，由数想形、以形助数、由数解形，在数形融通中渗透解决解析几何问题的一般过程．“点在圆上”“点在圆外”“点在圆内”三种情形存在区别，更蕴含着深刻的内部联系和数学规律，在类比联想、分类整合等过程中让学生体会数学的简洁、统一、和谐、理性之美． ( 逆向切点弦 切线代入 距离验证 设 而 不 求 点 直线 坐标 方程 圆 圆上 两点一线 圆外 切点弦 点动成线 圆内 ？ 图1 圆的切线与切点弦知识结构图 切线 ) 从数学探究的角度：数学探究活动是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动，是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作交流并最终解决问题的过程，是高中数学课程的重要内容，是培养学生创新意识和创新能力的重要途径．数学问题是探究活动的核心，分析解决好的问题往往会孕育出更多新的问题（图2）．充分理解“点在圆内”的情形，建立点的坐标与直线方程的联系，在观察求解、归纳对比、猜想验证中发现规律，让学生体会解析几何基本思想，发现并提出新问题“点不在圆上的情形？”，通过独立思考、合作交流等获得猜想，调动已有经验探索解决新问题．在认知冲突中获得解决问题的思路与方向，螺旋上升，并在反思中顿悟数学探究的一般路径，为新问题的提出与解决奠定基础．引导学生发现数学问题，提升四能，探究数学规律，掌握数学方法，培育数学素养． ( 探究反思 类比迁移 方法引领 完整经历 培育四能 理性之美 数形交融 形成路径 猜想 验证 定量判断 定性分析 点在圆外 发现问题 提出问题 从数想形 分析问题 解决问题问题 以形助数 由数解形 线圆相交 数形结合 切点弦 获得结论 图2 圆的切线与切点弦问题探究路径 点在圆上 新问题 i ， ii ， iii …… 点在圆内 ) 根据以上分析，确定本节课的教学重点：以直线与圆为背景，以切点与切线为问题情境，发现并提出新问题——点不在圆上，方程x0x+y0y=r2表示怎样的直线？根据“圆的切线”的已有经验和再认识，完整经历“切点弦”的探究历程，体会解析几何基本思想，揭示探究数学问题的一般方法． 2 教学目标设置 本节课的教学目标设置如下． （1）经历直观想象、画图试验、观察类比、猜想验证等探究过程，掌握过圆上一点的圆的切线方程的证明方法，获得圆的切点弦所在直线方程的几何解释．体会探究解析几何问题的基本方法，发现点在圆内时方程“x0x+y0y=r2”的几何意义； （2）在探究“圆的切线与切点弦”的活动中，体会数形交融，感悟数学的简约美、统一美、和谐美、理性美，以美启真； （3）从发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、再发现新问题的螺旋式上升的探究过程中，激发数学探究的兴趣与意识，积累活动经验，培育创新精神，从学会到会学，为学生的可持续发展和终身学习创造条件． 3 学情分析 3.1 学生已有的认知基础 本节课的授课对象是江苏省四星级高中高二学生，他们已经初步掌握了“直线与方程”“圆与方程”的知识，能从代数角度研究点、直线、圆之间关系，初步具备研究解析几何的直接经验，具有一定的图形识别、发现问题的意识以及一定的探究推理能力．这为本节课的学习提供了方法类比和知识迁移的可能． 3.2 达成目标所需的认知基础 要达成本节课的目标，这些已有的知识、能力和经验基础不可或缺，但本节课的目标要求之一是经历完整的数学探究过程，这对学生而言是弥足珍贵而又缺乏经验的．而圆的切线与切点弦中，点、线、圆的关系复杂且深刻，数形转化与融合程度要求较高，需要学生有良好的直观想象、逻辑推理能力和独立思考、合作交流等学习习惯．较高的数学抽象能力、较好的创新思维品质、以及自主学习、反思质疑的学科品质． 3.3 教学难点与突破策略 基于达成目标的认知困难，确定本节课的教学难点：探究点P分别在圆外、圆内时，方程“x0x+y0y=r2”的几何意义． 突破难点的相应策略如下： ①以问题驱动教学，让学生通过画图辨图、数形转换、猜想验证、联想对比，不断创设认知冲突，从解决问题的需要出发，促进学生获得由数想形的活动经验． ②分析问题内涵，规划探究路径，展示思维过程． ③通过操作确认、思辨论