圆的切线与切点弦（课件+教学设计）——2023年江苏省高中数学优质课比赛(江苏省锡山高级中学，方莉)

问题与探究 探究素材 提出问题 问题1:我们可以计算哪些量，这些量有什么关系，我们从而能得到什么结论？ 问题2:这些结论在一般情况下还成立吗？ 问题3:利用这些结论你能作出一般情况下的直线 ？ 提出问题 延伸拓展 回顾总结 本节课我们探究了什么问题？ 是如何进行探究的？在探究过程中用到了哪些数学思想方法？ 提出问题 合理猜想 推理论证 特殊到一般 转化与化归 从已解决的问题出发 知识： 路径： 方法： 回顾总结 类比 圆的切线与切点弦 数形结合 清平乐 探究之道 问自何处 源于多思路 欲知问题之去处 归纳猜想相助 直观求解谁知 尝试数形转化 严谨逻辑推理 数学本质探路 谢谢大家！ 11 $$ 圆的切线与切点弦 1、 教材及内容分析 本节课是普通高中教科书苏教版选择性必修第一册第二章“问题与探究”栏目内容，它是圆这一章内容的延申和拓展.在此之前，学生已经学习了解析几何初步--直线与圆，这为本节课探究奠定了知识基础.在“直线与圆的位置关系”一章中的课本习课：“已知圆：，求证：经过圆上一点的切线方程是”此题作为本节课的先行组织内容,也作为学生的认知基础，帮助学生探究点在圆外及圆内时，直线的几何意义及点、线与圆之间的内在关联. 二、教学目标 （1）学生通过对切点弦的探究，学会从特殊到一般，然后归纳猜想，最后推理论证的探究路径. （2）学生能够通过用数量关系来寻求直线与点和圆之间的几何关系，并深刻体会到解析几何问题研究的最基本的方法，即用代数的方法来研究几何问题. （3）学生通过对切线与切点弦之间的统一性的理解，以及用切线方程来证明切点弦的过程，体会解析几何中数与形的和谐统一美. 3、 教学重点、难点 从特殊的点线圆图中，通过观察及代数运算，发现切点弦这一结论，理解切线和切点弦之间的关联性，会利用点在圆上的切线方程结论用设而不求方法进行代数论证. 4、 教学方法与手段 探究式学习与讲授结合 5、 教学过程 5.1展示素材，提出问题 课本67页：思考运用第10题： 已知圆：，求证：经过圆上一点的切线方程是. 针对所给探究素材，提出本节课所要探究的问题： 当点在圆上时，方程表示过点的切线，那么当点在圆外时，方程表示怎样的直线？ 设计意图：从一道常规的课后题中去提出问题，让学生体会到已经学过的知识是进行探究的最好素材. 5.2分析目标，寻求路径 （1）分析探究目标：寻找点在圆外时，直线与点及圆之间的关系. （2）小组合作交流，确定探究的路径. 探究路径：从特殊到一般进行作图，从定性和定量两个方面探究，从特殊的情况中找到线与点圆的关系，并进行一般化的结论猜想，最后进行证明. 设计意图：通过小组讨论，初步形成探究的大致路径，老师总结提炼出探究的一般路径. 5.3小组合作，自主探究 学生活动：学生动手作图，从特殊图形出发，学会从特殊到一般的研究方法，经历直观感知——大胆猜想——严密分析图形中的代数关系——总结线与点及圆的位置关系. 统一特殊例子：从，和中去计算可以计算的量（如斜率，距离，长度…），并找到量之间的关系，分析直线的几何特征. 预设：（1），直线与圆相交. （2），可得（或，，，得到三点共线，从而得到）. （3）,,,，由相似或射影定理可得,即是切点，同理是切点.（或，，,由勾股定理得）. 设计意图：通过作特殊情况的直线与点和圆的图进行直观观察，结合代数定量的计算，以形助数，以数解形，体现解析几何问题解决的基本思想方法. 5.4特殊出发，合理猜想 上述结论是否可以推广到一般情况？ 当为圆：外任意一点时，与圆相交，且，并且与圆的两个交点为切点.（证明同特殊情况类似.） 设计意图：学生在证明过程中体会类比的思想，证明过程可完全类比特殊情况下的代数运算的过程. 5.5重新作图，深化理解 结合上述结论，你能做出一般情况下的图像了吗？ 作法一：过点做圆的两个切点，连接两个切点所在直线即.即可得为两切点所在直线. 给出定义：切点弦定义. 表示切点弦所在直线. 作法二：以为直径作圆，两圆交点弦所在直线即. 作法三：结合和作图. 设计意图：通过利用几何特征来作图，加深对直线几何特征的认识，体会点在圆外是切点弦所在直线这一本质，并体会利用图形分析几何特征，同时又利用几何特征帮助作图. 5.6寻求联系，完美统一 当点在圆：上和点在圆：外时，直线表示的几何意义不同，但是它们之间会不会有内在联系呢？（ggb演示） 设计意图：从数学的本质来揭示代数与几何的内在联系，代数的统一中暗含了几何的统一. 5.7化归思想，代数论证 当点在圆：外时，方程表示圆的切点弦所在直线方程. 证明：设，由点在圆上的切线结论得，切线的方程为，切线的方程为，, 所以