2023年江苏省高中数学优课比赛课件、教学设计：《圆的切线与切点弦》通州中学，袁源

圆的切线与切点弦 教材：普通高中教科书数学选择性必修一（苏教版） 【教学目标】 1．从切线到切点弦、弦切线，经历操作实验、归纳猜想、论证推广的数学探究过程，在点与线的关联互动中发现数学规律，在命题的推广比较中提出数学问题，在操作实验中验证猜想、完善结论，在推理论证中形成概念、建构方法； 2．初步形成数学探究活动经验和数学研究基本方法，能在关联情境中提炼数学问题，借助于工具主动探索研究方向，在同伴合作中表达交流、反思质疑． 【教学重点、难点】 教学重点：在点与线的互动关联中，经历猜想、归纳、论证、推广的数学探究过程； 教学难点：学生在点与线的互动关联中，提出猜想． 【教学方法与教学手段】 1．精心设计教学内容 站在系统的高度组织教学内容，从课本“思考·运用”题入手，精心设问，帮助学生联想、抽象出数学问题，整个教学过程，将经历设问—探究—提炼—证明—反思五个层面，层层递进． 2．充分开展学生活动 站在学生的角度，根据学生的思维特点和认知基础，给学生提供课堂参与机会，让学生在动手操作和尝试探索中验证猜想，掌握方法，体会思想，形成技能． 3．渗透提炼思想方法 从问题提出到实验操作、从猜想发现到数学论证，由浅入深，逐层递进，引导学生通过分析、猜想、归纳、推广等，让学生在探索研究中领悟数学思想方法在数学学习中的应用． 【教学过程】 （一） 复习回顾 章节概览 （二） 情境创设 引入切线 （课本P67第10题 思考·运用） 已知圆O的方程是，求证：经过圆O上一点P(,)的切线方程是． 学生活动：学生独立思考，得出两种方法，分别是从形的角度的几何方法、从数的角度的代数方法． 教师活动：针对学生的回答给出评价，展示出这两种方法的解题思路，接着引导学生发散思维，从而提出如下问题： 问题1：已知圆O：，若圆O的一条切线方程是，则切点为 ． 问题2：你能尝试用其他方法求证：是圆O的过点P(,)的切线方程吗？ 学生活动：通过独立思考，回答出另外两种方法，切线l⊥OP——kOP kl＝－1和切线l⊥OP． 教师活动：对学生的回答进行评价，并展示出两种解题思路． 设计意图：这样的过程可以进行知识的前后联系，启发思考，引入新知． （三）总结梳理 方法归纳 已知圆O：，点P(,)，直线l： 结论1：若点P在圆上，则直线l为圆O在点P处的切线，点P为切点． 同时展示出相关的探究路径与求证思路，让学生进行详细讲解．然后提出一个新的问题： （四）数学活动 学生探究 问题3：当点P(,)在圆O：外时，直线l：表示怎样的直线呢？ 学生活动：运用探究学习画图纸动手实践画图，进行独立思考，探究点、线、圆位置关系． 提出猜想：若P(x0，y0)在圆外，则圆的切点弦所在直线为l：x0x＋y0y＝r2． 教师活动：分享学生的探究成果，并在PPT上用流程图的方式展示出问题3的具体思路，同时引出切点弦的定义，即“从圆外一点向圆引两条切线，连结两切点的弦称为切点弦”． 设计意图：将问题与解题思路通过多媒体用流程图的方式清晰的呈现出来，有助于学生对新知的理解，同时，启发性教学对学生训练发散思维很有帮助． 提出猜想：若P(,)在圆外，则直线l：x0x＋y0y＝r2为圆的切点弦所在直线． 展示学生对猜想的证明，从切线到切点弦的同构法的流程图． 问题4：当直线l：与圆O相交时，点P(,)是 ． 学生活动：观察上述思路流程图，得出答案，此时点P是弦切线的交点． 教师活动：展示出问题4的思路流程图，给学生进行讲解，并提出思考，是否可以从其他视角证明上述猜想？ 学生活动：根据前面所讲的向量法，想到用投影向量证明的方法． 证明：． 结论2 已知圆O：，点P(,)，直线l：． 若点P在圆外，则直线l为过点P的圆O的切点弦所在直线方程．P为弦切线的交点． 教师引导学生总结探究路径和步骤． 问题5：当点P()在圆O：内时，方程表示怎样的直线呢？ 学生活动：通过先独立思考，再小组讨论进行探究，并展示小组研究成果． 教师活动：展示学生的探究结果，并提出以下猜想： （五）数学活动 学生探究 提出猜想：已知圆O：，点P(,)，直线l：，若P在圆内，经过点P的任意弦的端点处作切线（弦切线），则切线交点的轨迹为直线，其方程为． 学生活动：学生对上述猜想逆用切点弦结论进行证明，并得出结论． 结论3 已知圆O：，点P(,)，直线l：， 若点P在圆内，则直线l为圆O过点P的任意弦的弦切线交点的轨迹．点P为切点弦恒过的定点． 设计意图：通过类比得出新知，学生能够感受到数学知识之间的联系；善用流程图有助于学生对新知的梳理与理解；通过设置问题，层层提问，利用提问法和引导法引导学生进行问题的思考并进一步讨论；学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，进行问题的探究，提高了学