圆的切线与切点弦（课件+教学设计）-2023年江苏省高中数学优质课比赛

苏教版选择性必修一 第二章 圆与方程 江苏省赣榆高级中学 宋楠楠 《问题与探究：圆的切线与切点弦》教学设计 教材分析 “圆的切线与切点弦”是苏教版《数学》（选择性必修第一册）第二章 圆与方程“问题与探究”栏目的内容，是本章主体知识与方法的延伸与拓展。在本栏目内容之前，教材已渗透了探究问题的方法，突出了运用解析几何思想研究问题的一般思路。 在本栏目后的阅读内容里，介绍重要历史人物——希尔伯特，以及他对数学基础研究方面所作的贡献，并通过其在巴黎数学家大会上所作的关于数学问题的报告，介绍了解决和讨论数学问题过程中成功或失败背后所蕴含的数学方法和观点，为本栏目的探究方法作了较好的指引。 学情分析 本节探究课前，学生已完整学习过直线与方程、圆与方程这两章内容，能熟练运用解析几何思想探究直线与圆、圆与圆的位置关系。有一定的能力用代数方法研究几何问题，会分别从“数”和“形”的角度分析点与圆、线与圆、圆与圆的位置关系。 教学目标 1.从切线到切点弦、弦切线，引导学生经历实验观察、归纳、猜想、验证的数学探究过程，培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理的学科素养； 2.初步形成探究数学问题的基本方法，在相关情境中引导学生发现并提出数学问题、分析并明确探究方向，在合作交流中确定探究方法并进行严谨论证。培养学生乐于探索的学习态度和科学严谨的思维品质。 教学重点 在点与线的相互关联中，经历实验观察、归纳、猜想、验证的探究过程。 教学难点 点不在圆内时，直线的几何意义的探究。 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 一、知识回顾、大单元建构 初中研究过点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，具体是从“形”的角度研究这几个问题。本章借助了平面直角坐标系，将点与坐标，曲线与方程建立了对应关系，进一步从“数”的角度研究了这三类问题。本节课让我们一起运用这一解析几何思想来探究一条特殊的直线的几何意义——圆的切线与切点弦。 问题1：给定圆，当点位置改变时，直线与圆有怎样的位置关系？ 追问：你能从“数”的角度来论证这一发现吗？ 归纳：在圆上时，有,圆心到直线的距离,故直线与圆相切； 在圆外时，有,圆心到直线的距离,故直线与圆相交； 在圆内时，有,圆心到直线的距离,故直线与圆相离。 二、实验猜想，推理论证 【结论1】当点在圆上时，方程表示过点的切线。 思考：能否用其他方法证明这一结论？ 证法二：设切线上任意一点, 因为点在圆上，所以， 又因为， 则有即 ， 故方程表示过点的切线。 三、以史为鉴，操作探究 问题2：若不在圆上，则方程表示的直线是否有其特殊的几何意义？ 数学文化介绍：德国数学家希尔伯特在1900年巴黎数学家大会上关于数学问题所作的报告中提出讨论数学问题时的重要方法——由特殊到一般，未知转化为已知。 问题3：若在圆外，则方程表示怎样的直线？ 思考： 两点是特殊的点吗？ 提出猜想：若在圆外，则方程表示切点弦（连接圆过点P的两条切线的切点所得的弦）所在直线。 几何验证：几何画板演示，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB的方程为。 代数论证： 设过点的直线与圆相切于，， 由结论1知， 直线的方程为, 直线的方程为， 而点分别在两条切线和上， 所以且， 故和满足方程， 即点和在直线上， 所以是直线的方程，即切点弦所在直线的方程。 【结论2】当点在圆外时，方程表示切点弦所在直线。 四、知识应用，猜想论证 例1 已知圆，过直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为，则的取值范围是_______. 追问1：当点在直线上运动时，对应直线的方程也在改变，“动”中是否有“定”的现象存在？（几何画板演示） 追问2：如何从“数”的角度进行论证？由此，本题如何求解？ 求解过程梳理：设点，由结论2知 即，从而直线过定点，即切点弦过定点; 易得弦的取值范围是,4). 追问3：本题点在定直线上运动时，对应的无数条切点弦过一定点，即“动”中有“定”。若过点作不经过圆心的无数条弦，过这些弦的端点作圆的切线，交点是否存在“定”的现象？ 问题4：若在圆内，则方程又表示怎样的直线？ 提出猜想：若在圆内，则方程表示弦切线（经过点P的任意弦的端点处作切线）交点的轨迹。 几何验证：几何画板演示，过点的任意弦的端点处作切线，交点的轨迹方程为。 代数论证： 设弦切线的交点为，由结论2知， 直线的方程为， 又点在直线上， 所以，， 从而点的轨迹方程为. 【结论3】当点在圆内时，方程表示过点的弦切线交点的轨迹。 五、课堂小结、思维升华 1.本节课你有哪些收获？ 2.基于本节课所探究的问题，你能提出新的探究问题吗？若有请给出探究思路与方法 生1：一线一圆能否定一点？ 生2：探究思路——线与圆相切、相交、相离，点分别师怎样的