13.5.2 线段垂直平分线 同步提升2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

13.5.2 线段垂直平分线 知识梳理 线段的垂直平分线:垂直于一条线段并且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,或中垂线。 线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 例题 例.如图1,AD∥BC,AB ⊥BC于B,∠DCB=75 ,以CD为边的等边 DCE的另一顶点E在线段AB上. (1)填空:∠ADE=_ ; (2)求证:AB=BC; (3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30 ,求的值. 【答案】(1)45;(2)证明见解析(3)1. 【详解】 解:(1)∵∠DCB=75 ,AD∥BC, ∴∠ADC=105 ∵ DCE为等边三角形, ∴∠EDC=60 , ∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=45 . (2)证明:连接AC 由(1)知∠ADE =45 , ∵AB⊥BC,AD∥BC, ∴∠DAB=90 , ∴∠AED=45 , ∴AD=AE, ∴点A在线段DE的垂直平分线上, ∵ DCE为等边三角形, ∴CD=CE, ∴点C也在线段DE的垂直平分线上 , ∴AC就是线段DE的垂直平分线, 即AC⊥DE, ∴AC平分∠EAD, ∴∠BAC=45 , ∴ ABC是等腰直角三角形 ∴BA=BC (3)解:连接AF,延长BF交AD的延长线于点G ∵∠FBC=30 ,∠ABC=90 , ∴∠ABF=60 , ∵∠DCB=75 , ∴∠BFC=75 , 故BC=BF, 由(2)知:BA=BC, ∴BA=BF, ∴ ABF是等边三角形, ∴AB=BF=FA, ∴∠BAC=60 , ∴∠DAF=30 , 又∵AD∥BC, ∴∠FAG=∠G=30 , ∴FG =FA= FB, 又∠DFG=∠CFB, ∴ BCF≌ GDF(ASA), ∴DF=CF, ∴=1. 基础训练 一、单选题 1.如图,已知,以两点为圆心,大于的长为半径画圆,两弧相交于点,连接与相较于点,则的周长为( ) A.8 B.10 C.11 D.13 2.如图,DE,DF分别是线段AB,BC的垂直平分线,连接DA,DC,则( ) A.∠A=∠C B.∠B=∠ADC C.DA=DC D.DE=DF 3.如图,在 ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,∠B=60 ,∠C=25 ,则∠BAD为( ) A.50 B.70 C.75 D.80 4.如图,在中,观察作图痕迹,若,则CF的长为( ) A. B.3 C.2 D. 5.在 ABC中,,.用尺规在BC边上找一点D,仔细观察、分析能使的作法图是( ) A. B. C. D. 6.已知在 ABC中,点P在三角形内部,点P到三个顶点的距离相等,则点P是( ) A.三条角平分线的交点 B.三条高线的交点 C.三条中线的交点 D.三条边垂直平分线的交点 7.如图,在 ABC中,,,BD平分∠ABC,,交AB于点E.关于下面两个结论,说法正确的是( ) 结论①;结论②. A.结论①②都正确 B.结论①②都错误 C.只有结论①正确 D.只有结论②正确 8.如图, ABC中,∠B=55 ,∠C=30 ,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N作直线MN,交BC于点D,连结AD,则∠BAD的度数为( ) A.65 B.60 C.55 D.45 9.观察下列作图痕迹,所作CD为 ABC的边AB上的中线是( ) A. B. C. D. 10.对于问题:如图1,已知∠AOB,只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角?小意同学的方法如图2:在OA、OB上分别取C、D,以点C为圆心,CD长为半径画弧,交OB的反向延长线于点E,若测量得OE=OD,则∠AOB=90 .则小意同学判断的依据是( ) A.等角对等边 B.线段中垂线上的点到线段两段距离相等 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” 二、填空题 11.如图,直线为线段的垂直平分线,交于,在直线上取一点,使得,得到第一个三角形;在射线上取一点,使得;得到第二个三角形;在射线上取一点,使得,得到第三个三角形……依次这样作下去,则第2020个三角形中的度数为_ 12.如图,在中,,,,垂直平分,点为直线上的任意一点,则周长的最小值是_. 13.如图,线段的垂直平分线交于点.若,则_ 14.在 ABC中,AB=AC,点D是 ABC内一点,点E是CD的中点,连接AE,作EF⊥AE,若点F在BD的垂直平分线上,∠BAC= ,则∠BFD=_.(用 含的式子表示) 15.如图,等边ABC的边长为6,点D是AB上一动点,过点D作DEAC交BC于E,将BDE沿着DE翻折得到,连接,则的最小值为_. 三、解答题 16.在中,,D为BC延长线上一点,点E为线