精品解析：上海市崇明区2024届高三一模数学试题

2023学年第一学期高三第一次模拟考试 数 学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 不等式的解集为______． 2. 双曲线的焦距为_______________. 3. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为__________． 4. 已知等比数列首项，公比，则__________． 5. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 6. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为__________． 7. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为__________． 8. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，则他平均每场得_______分． 9. 已知事件与事件相互独立，如果，，则__________． 10. 用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同． 你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线． __________． 11. 已知不平行两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于__________． 12. 已知正实数满足则当 取得最小值时，______ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 13. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 14. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确是（ ） A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题，都是真命题 D. 命题，都是假命题 16. 若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． （1）求证：平面； （2）求点B到平面距离． 18. 在中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，，. （1）若，求A和外接圆半径R的值； （2）若三角形的面积，求c. 19. 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图： （1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； （2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率． 20 已知抛物线，，直线交抛物线于点、，交抛物线于点、，其中点、位于第一象限． （1）若点到抛物线焦点的距离为2，求点的坐标； （2）若点的坐标为，且线段的中点在轴上，求原点到直线的距离； （3）若，求与的面积之比． 21. 已知． （1）若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围； （2）已知数列是等差数列（公差），．是否存在数列使得数列是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列，并证明此时的数列是等差数列；若不存在，请说明理由； （3）若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立， ②存在使得？若存在，请求出满足条件直线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期高三第一次模拟考试 数 学 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值不等式的解法求解. 【详解】由得，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 2. 双曲线的焦距为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】