精品解析：2023年第39届全国中学生冬令营（CMO)数学试题

2023年冬令营（CMO）试题完整版 1. 求最小实数，使得对任意的正整数，可以将其表示成2023个正整数之积，即，且满足对任意的，均有是素数或者． 2. 求最大实数，使得对任意的正整数和个实数，，，，均有. 3. 给定素数，定义集合．对于，，定义如下：当时；当时．对于的一个子集，定义．若集合满足且对任意有则称集合为好集合．求最大正整数，使得可以找到个互不相同的好集合，，，，满足． 4. 对任意满足非负实数组，记为的元素个数，求证：，并给出取等的充要条件. 5. 在锐角中，为延长线上一点，过分别作，平行线，，若，，且外接圆与交于点，证明： （1）； （2）． 6. 给定一个正99边形，将1，2，，99放入99边形99个顶点处，若两种放置方法在旋转之后可以重合，则称这两种方法是同一个.称交换某两个相邻顶点上的数为一次操作，求最小的使得至多次操作可以将一种放置方法变为任意另外一种放置方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年冬令营（CMO）试题完整版 1. 求最小的实数，使得对任意的正整数，可以将其表示成2023个正整数之积，即，且满足对任意的，均有是素数或者． 【答案】的最小值为. 【解析】 【分析】根据给定条件，取(其中为素数)，，借助抽屉原理可得，再证明当时，对任意的正整数，，存在正整数符合题意. 【详解】一方面，取(其中为素数)，此时若将表示成2023个正整数之积， 即时，可设(为非负整数，， 由抽屉原理，存正整数，使得，此时，因此有； 另一方面，证明：当时，对任意的正整数，存在正整数， 使得是素数或者，且， 对任意的正整数，采用如下方法依次构造出满足要求的: 对，假设已构造出，接下来考虑的取值(特别地，时代表尚未构造出任何一项，考虑构造的值)， 对时：若的最大素因子，则令； 若的任一素因子均小于，则令为的不超过的最大正约数，依次得到， 证明这样的构造符合要求： 由于此时对任意的，已有是素数或者，因此只须证， 若存在，则知不存在不小于的素因子，也不存在不超过的正约数， 自然也就不存在不超过素因子，所以， 这样，，满足， 若不存在，不妨设为在上述操作中选取的不小于的素数， 其余项为在上述操作中选取的不超过的正约数(可以为0)， 此时如果，则与为的不超过的最大正约数矛盾， 所以，这样有，进而有； 而由取法可直接得到， 因此有，此时， 所以，满足. 综上所述，的最小值为. 2. 求最大的实数，使得对任意的正整数和个实数，，，，均有. 【答案】 【解析】 【分析】对不等式恒等变形得，然后再验证成立即可. 【详解】的最大可能值为，恒等变形如下： ， 令，，则（记），，进而结合阿贝尔变换知， 同理，故， 又，同理， 进而 ， 故时符合题意. 另一方面，令，，时，，，此时有， 而，令充分大知. 综上所述，的最大可能值为. 3. 给定素数，定义集合．对于，，定义如下：当时；当时．对于的一个子集，定义．若集合满足且对任意有则称集合为好集合．求最大正整数，使得可以找到个互不相同的好集合，，，，满足． 【答案】 【解析】 【分析】首先分析题意，做出引理，其次按情况进行讨论分析. 【详解】引理一的证明： 设小弧长度分别为所有不同的连续s段小弧组成的弧长平方之为，则有： 由整数离散性及知， 当取最小值时，应有对任意的 回到原题，对好集合A，若|A|=k，设 则由上述可知 由于当时，可同时取到最小值，因此取最小值时恰同时取到最小值. 故由引理知，此时或特别地，或， 引理二：对于满足条件的好集合A，若，则必存在非负整数t，使得(其中). 引理二的证明：记，则. 若对于每个，均存在另一个使得， 则连一条到的有向线段，则图中必存在圈为下标)， 故，矛盾！ 故存在使得对任意的正整数，由引理一， 知，令即可，引理二得证. 由引理二，对任意，对任意好集合，若，则必存在好集合， 满足且.这是因为，可以不妨设，此时令，由知结论成立. 引理三：当T为好集时，T的补集也为好集. 引理三的证明： 对的补集有： $$ 同理， 故， 即当为好集时，也为好集，引理得证. 故对任意，对任意好集合，若，则必存在好集合，满足且. 引理四：对于任意，对任意的好集合T，若=t，则存在好集合S，满足且. 引理四的证明：不妨设，令(集合中的元素为在模意义下理解)， 则由于，知，此时被的补集所包含，引理四得证. 对好集合，设及， 若，则由引理1及引理. 若，且中至少两个间距取到3： 此时若有两个相邻间距均为3，则由引理一知不存在两个相邻间距均为4(否则连续两段小弧之和为6和8，矛盾). 此时若，则集合中对应长度等于4的小弧被拆分成两个长度等于2的小弧， 此时在中同时存在两个相邻的3及两个相邻的2，同上矛盾.故. 若不存在两个相邻间距均为3，则存在两组连