精品解析：上海市宝山区上海师大附属罗店中学2023-2024学年高二上学期第二次诊断调研数学试题

2023学年第一学期高二年级第二次诊断调研 数学试卷 一、填空题（每题3分） 1. “直线在平面上”用集合符号语言可以表示为________． 2. 已知球的体积为，则该球的表面积为______. 3. 在正方体中，异面直线与所成的角的大小为________． 4. 在正方体中，二面角的大小为_________． 5. 在正三棱柱中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为________． 6. 将边长为1的正方形绕着边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________． 7. 一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为 . 8. 已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________． 9. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则原图形的面积为________． 10. 已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的顶点的截面面积的最大值为________． 11. 已知正四面体的棱长为6，设集合，则表示的区域的面积为________． 12. 在正四棱柱中，已知是棱的中点，是对角线的中点，设是正四棱柱的面上的动点，且平面，则动点P围成的图形的周长为________． 二、选择题（每题3分） 13. 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知直线平面是平面上一条直线，则直线与的关系不可能是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 垂直 15. 一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是平方米 A. B. C D. 16. 如图，在矩形中，已知为边的中点．将沿翻折成，若为线段的中点，给出下列说法：①翻折到某个位置，可以使得平面；②无论怎样翻折，点总在某个球面上运动．则（ ）． A. ①和②都正确 B. ①和②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（8+10+10+12+12分） 17. 如图，在长方体中，已知． （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18. 如图，在四棱锥中，已知底面，底面正方形，. （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角的大小. 19. 已知平面，，，，为中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、. （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 20. 如图，是圆柱的底面直径且是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上． （1）求圆柱的表面积； （2）求证：； （3）若是的中点，求的最小值． 21. 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和) （1）求证：为正四面体； （2）若，求二面角的大小； （3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期高二年级第二次诊断调研 数学试卷 一、填空题（每题3分） 1. “直线在平面上”用集合符号语言可以表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据直线在平面上的集合符号语言得到答案. 【详解】“直线在平面上”用集合符号语言可以表示为. 故答案为：. 2. 已知球的体积为，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由球的体积公式求出球的半径R，再由表面积公式计算即可． 【详解】由球的体积公式可知，，解得， ∴球的表面积． 故答案为： 3. 在正方体中，异面直线与所成的角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平移求异面直线所成角即可. 【详解】 在正方体中， 可将直线平移到直线, 故异面直线与所成的角即与所成的角. 且四边形为正方形， 所以. 故异面直线与所成的角为： 故答案为： 4. 在正方体中，二面角的大小为_________． 【答案】45°## 【解析】 【分析】由定义得出二面角的平面角，从而得结论． 【详解】正方体中,AB⊥平面，平面，， 又，∴∠D1AD是二面角D1−AB−D的平面角 ∵∠D1AD=45° ∴二面角D1−AB−D的大小为45° 故答案为：45° 5. 在正三棱柱中，已知，则直线与平面所成的角的正弦值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用向量知识进行求解. 【详解】解：以为原点，建立如图所示的空间直