第六课时 利用向量找等式的思维训练方法 讲义-2024届高三数学二轮复习

第六课时 利用向量找等式的思维训练方法 条件一：如图，A、B、C三点在一条直线上，并且AB=2BC 条件二：AB//CD, AB=CD 这样的条件如何找到等式呢？ 这类条件必须利用向量等式：, 第一，注意向量要确认方向相同，长度相等。 第二，向量等式：是两个等式，而AB=2BC仅仅是一个等式，而且表达式非常复杂,并且没有把“共线”的意义表达出来。 例1设分别是椭圆E:的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于 A,B两点，若,轴，则椭圆E的方程为______ 思维学习方法： ①问题：求椭圆E的方程 方法：找到b的等式 第一，条件一：轴 可设A，B的坐标分别为：（c,m）， 容易求得：m=,不妨取：m= 条件二： 思考一：如何利用这个条件找到等式呢？ 有“隐含条件”三点共线，有等式：(方向相同，长度相等) 求得： 第二，找到b的等式 条件三：点B在椭圆上 有等式：, 求得： 椭圆E的方程为： ③本题需要学会 第一，根据给定条件：找到向量等式的方法 第二，找到向量等式的优点 一是一个向量等式可以变为两个等式，即同时找到了：三点共线包含的等式。 二是将很复杂的长度等式变为很简单的一次等式。 例2设分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂 直，直线与C的另一个交点为N. ①若直线MN的斜率为，求C的离心率； ②若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b 思维学习方法： ①问题一：求C的离心率 可设A，B的坐标分别为：（）， 易知： 有等式： 求得： ②问题二：求a,b 第一，条件一：直线MN在y轴上的截距为2 有等式： 条件二： 有等式： 求得： 条件三：N在椭圆上。 有等式： 解得：a=7,b=2 例3 已知椭圆C:,直线不过原点O且不平行于坐标轴，与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M． ①证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值； ②若过点()，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能， 求此时的斜率，若不能，说明理由． 思维学习方法： ①问题一：证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值 设直线的方程为y=kx+b, A，B的坐标分别为：（）， M的坐标为：（）， 第一，求出(把k,b看作已知数) 联立 求得：, 直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值. ②问题二：求此时的斜率 方法：找到k的等式，解方程。 思考一：“四边形OAPB为平行四边形”是条件还是结论？ 这是“条件”。理由是：把“四边形OAPB为平行四边形”看作条件，找到k的等式，求出斜率k，如果有解，说明存在，如果无解，说明不存在。 思考二：条件“过点()”的作用是什么？ 找到一个k,b,m的等式。有等式： 第一，求点P的坐标（） 思考三：如何找到点P的坐标的等式？ 条件一：四边形OAPB为平行四边形 有等式：, 第二，找到k的等式 条件二：点P在椭圆上。 有等式：，得到：， 解得： 第三，条件要求直线和椭圆一定有两个交点，满足吗？ 由于直线过点()，通过作图很容易判断时，直线和椭圆一定有两个交点，这是需要说明的。 ③本题需要学会 第一，条件：过点()的利用方法：可以找到一个关于m、k、b的等式。 第二，条件：四边形OAPB为平行四边形的利用方法 可以找到向量等式： (注意方向要相同) 第三，本题含有的未知量很多，要学会哪些应该看作已知量，其余是未知量，是要消除的量。本题可以把m、k、b看作已知量。 例4已知抛物线C：上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1. ①求抛物线C的方程； ②若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且，求直线MN的方程. 思维学习方法： ①问题一：答案：（） ②问题二：求直线MN的方程 设直线MN的方程为：x=my+1（有隐含条件，斜率k不为0） 问题的本质：求m，一个未知数找一个等式。 设M,N的坐标分别为：（）， 第一，条件一： 有隐含条件M,N,F三点共线，有等式： 得到： 第二，联立找到的等式 联立 求得： 求得：,(有条件), 直线MN的方程为： 思维训练方法： 练习1设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且,则直线OM的斜率的最大值为 A. B. C. D.1 答案:C 练习2已知点P是椭圆上的动点(P不在x轴上)，分别是椭圆的左、右焦 点，O是坐标原点，若M是∠的平分线上一点，且，则的取值范围是(　　) A．[0,3) B．[0,) C．[，3) D．(0,4] 思维学习方法： ①解决本题的关键是：“M是∠的平分线上一点”的利用方法 如图，延长交的延长线于点G.（G可能不在椭圆上） 有条件：