第三课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（2）讲义——2024届高三数学二轮复习

模块五 高考数学思维训练教程 —直线、圆、圆锥曲线 第三课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（2） 例1 已知A为椭圆上的点，点B坐标为（2，1），有,求点P的轨迹方程. 思维学习方法： ①问题：点P的轨迹方程 思考一：如何解决“求轨迹方程问题”？ 第一步：设点P的坐标为（x,y） 第二步：找到x,y的等式。 问题的本质：找到x,y的等式 ②找到x,y的等式 思考二：根据什么条件找到x,y的等式？ 设点A的坐标为（m,n）,有等式：,把x,y看作“已知数”，m,n看作“未知数”，求出m,n,再带入等式：,即可找到x,y的等式。 第一，求m,n 条件一： 有等式：x-m=4-2x,y-n=2-2y,得到：m=3x-4,n=3y-2 得到： ③本题需要学会 第一，求轨迹方程的方法 第一步：设点P的坐标为（x,y）；第二步：找到x,y的等式。 第二，学会找等式的方法 利用m,n的等式，求出m,n与x,y的等式，代入即可。 例2设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆A于两点，过作的平行线交于点． (1)证明为定值，并写出点的轨迹方程； (2)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 思维学习方法： ①问题一：证明为定值 因为：BE//AC,有： ②问题二：写出点的轨迹方程 A,B的坐标分别为：（-1，0），（1，0）， 有条件： 这是一个“椭圆”，a=2,c=1,椭圆方程为： 特别注意：有条件： 这是因为：直线过点且与轴不重合，E点不可能在x轴。 ③问题三：求四边形面积的取值范围 方法：引进一个变量“k”，找到四边形MPNQ面积与k的函数关系（等式），求出函数的值域即可, 就是求函数的最大值、最小值。 根据条件：直线过点B（1,0）且与x轴不重合， 设直线的方程为：x=ky+1（这样避免讨论） 直线PQ的方程为：y=-k(x-1) 第一，求 根据条件：四边形MPNQ对角线，得到等式： 第二，求，即找的等式 设点M,N的坐标, , 联立：, 第三，求，即找的等式 设点P，Q的坐标, , 联立：, 第四，求四边形MPNQ面积的取值范围 (k为任何实数) ④本题需要学会 第一，求“一个范围”，一般是引进一个变量，本题直线方程的斜率k是变化的，把k看作变量（k应该看作“已知数”，求出需要的量）。 第二，直线的斜率不为0，但可能不存在，直接设的方程为：x=ky+1，这样包括需要考虑的所有情况，避免讨论，需要学会。 例3（2021年新高考全国1卷）在平面直角坐标系xoy中，已知点,点M满足：,记M的轨迹为C. 求C的方程； 设点T在直线上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率的和。 思维学习方法： ①问题一：求C的方程 易知，C的方程为：（x>0）(有条件：) ②问题二：求直线AB的斜率与直线PQ的斜率的和 第一，设点T的坐标为： 直线AB的方程为：, 直线PQ的方程为：, A,B,P,Q的坐标分别为：, ，, 第二，求 联立：,求得： 同时求出：的取值范围： 同理： 第三，找到的等式 条件一： 易知：, 有等式： 化简得到：，得到： 因为： 得到：， 由的取值范围知，存在，一定存在，满足等式： 例4（2017年全国1卷） 已知椭圆C：，四点，中恰有三点在椭圆C上． ①求C的方程； ②设直线不经过点且与C相交于两点若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 思维学习方法： ①问题一：求C的方程 根据“对称性”，易知不在椭圆C上。 C的方程为： ②问题二：证明：过定点． 思考一：怎样解决直线过定点问题呢？ 先考虑斜率存在的情况，设直线方程为：y=kx+b,(k,b总是看作“已知数”，求出其它未知数) 问题的本质是：找到k与b的等式，最后判断直线过哪一个“定点”。 其次考虑斜率不存在的情况，证明直线也过这个“定点”。 设两点的坐标分别为：, 第一，找到k与b的等式 条件一：直线与直线的斜率的和为 有等式：，得到等式： 第二，求 联立：,求得： 得到等式： 求得：b=1,或者 第三，当b=1时，直线方程为：y=kx+1 无论k 为何值，直线过定点（0，1），（x看作是k的“系数”，x取0，就与k无关） 当斜率不存在时，直线方程为x=a（），有等式：，得到等式：a=2 x=2，与椭圆仅交于一点，不满足题设要求。 第四，当时，直线方程为：y=kx-2k-1=k(x-2)-1 无论k 为何值，直线过定点（2，-1），（x-2看作是k的“系数”，x取2，就与k无关） 同上，当斜率不存在时，不满足题设要求。 ③本题需要学会 第一，解决直线过定点问题 先考虑斜率存在的情况，设直线方程为：y=kx+b,找到k与b的等式，最后判断