第五课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（4）讲义——2024届高三数学二轮复习

第五课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（4） 例1 在直角坐标系xoy中，曲线C：y=与直线(＞0)交于M,N两点。 （Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程； （Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。 思维学习方法： ①问题一：分别求C在点M和N处的切线方程 第一，M,N点的坐标分别为：（，a）, （，a） 第二，分别求出两条切线的斜率（用“导数方法”） C在点M处的切线方程为：y= C在点N处的切线方程为：y= ②问题二：y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？ 第一，这类问题的解决方法 总是假定存在点P（0,m），使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN成立， 找到m的等式（方程），如果有解，说明存在，如果无解，说明不存在。 特别指出：∠OPM=∠OPN需要作为“条件”，也就是找等式的依据，其次k会变动，a要看作常数。 第二，等式∠OPM=∠OPN的利用方法是什么？ 很容易看出：直线PM的倾斜角和直线PN的倾斜角“互补”，有等式： 设M,N的坐标分别为：, 即有等式： 第三，求 联立，求得： 得到等式：,由于k可以取任何数（一般不是0），取,即有： 所以y轴上存在点P（0，-a），使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN ③本题需要学会 第一，证明两个角相等，一般都是变为直线的斜率相等（平行）或斜率之和为0（倾斜角互补）。 第二，本题一定要把∠OPM=∠OPN作为“条件”，不然无法求出m. 第三，求“切线斜率”一般用导数。 例2 已知抛物线C:经过点,过点的直线与抛物线有两个不同的交点,且直线交轴于,直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围; (2)设为原点,,求证:为定值. 思维学习方法： ①问题一：求直线的斜率的取值范围 第一，容易求得：抛物线C: 第二，直线的方程为：y=kx+1,问题的本质是求k的范围，即找到k的不等式。 思考一：什么条件给定了不等式？ “直线与抛物线有两个不同的交点”，给定了不等式： 联立 得到： 有不等式： 特别有不等式： 解得：k<1 且 有等式： 第三，有条件一：PA、PB要与y轴相交 ∴直线l不能经过点(1,﹣2),即k≠﹣3, 故直线l的斜率的取值范围(﹣∞,﹣3)∪(﹣3,0)∪(0,1); ②问题二：求证:为定值 第一，找到的等式 条件二： 第二，求出M,N的坐标 直线AP的方程为： M点的纵坐标为：,其中： 直线BP的方程为： N点的纵坐标为：,其中： 求得： 第三，计算： , ③本题需要学会 第一，在解题过程中，斜率k等是“变量”，要看成常数。 第二，在解题过程中，也要看成常数，最后再化为k的等式，其它未知量都需要用这些字母表示。 第三，某些量很复杂，如本题直线AP、BP的斜率，一般引进一个字母表示，表达式会变得很简单。 例3（2020年新高考全国1卷）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）. 求C的方程； 点M,N在C上，且AMAN, ADMN,D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值。 思维学习方法： ①问题一：求C的方程 3个未知数找3个等式。 有等式：,,求得： C的方程为： ②问题二：证明：存在定点Q，使得为定值 设M,N的坐标分别为：, 必须设直线MN的方程为：y=kx+m(斜率存在)和斜率不存在两种情况讨论， 找到k,m存在的等式关系，以便找到直线MN的“特征”，最后找到Q点。 第一，找到k,m存在的等式关系 条件一：AMAN 有等式： 得到： 第二，求 联立，求得： 得到等式： 整理得到：（2k+3m+1）(2k+m-1)=0 因为A（2，1）不在直线MN上，2k+m-1，得到等式：2k+3m+1=0,并得出：k 直线MN的方程为：y=kx+m，直线MN过定点P（） 第三，证明：斜率不存在直线MN也过点P（） 设直线MN的方程为：,有 因为：AMAN 有等式： M在椭圆上，有等式： 得到：，解得：（舍去，过A点）， 直线MN也过点P（） 第四，找点Q ΔAPD是直角三角形，AP是定值，取Q为AP的中点， 如果D,P是同一点，也满足 因此存在Q（），使得为定值。 思维训练方法： 练1在平面直角坐标系XOY中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于. (1)求动点P的轨迹方程; (2)设直线AP与BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P使得ΔPAB与ΔPMN的面积相等？若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 思维学习方法： ①问题一：答案： ②问题二：求出点P的坐标 第一，假定存在点P（）， ΔPAB与ΔPMN的面积相等,看作“已知条件”，求 第二，2个未知数需要找到2个等式。 有等式： ΔPAB与ΔP