第四课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（3）讲义——2024届高三数学二轮复习

第四课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（3） 例1设椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)． (1)当与x轴垂直时，求直线AM的方程； (2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB. 思维学习方法： ①问题一：求直线AM的方程(略) ②问题二：证明：∠OMA＝∠OMB 思考一：问题的本质是什么？ 即证明： 设A,B的坐标分别为：, 当直线的斜率不存在时，由问题一，可以看出∠OMA＝∠OMB 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y=k(x-1) 第一，计算 第二，求 联立 求得： 得到：∠OMA＝∠OMB ③本题需要学会 第一，证明两个角相等，一般都是变为直线的斜率相等（平行）或斜率之和为0（倾斜角互补）。 例2 （2021年新高考全国1卷）已知是椭圆C:的两个焦点，点M在C上， 则的最大值为（） A．13 B．12 C．9 D．6 思维学习方法： ①问题：求的最大值 方法：找到不等式，求出的范围。 有等式： 思考一：如何通过“等式”找到不等式？ 用“基本不等式”可得： （取等号，显然是存在的） 答案：C ③本题需要学会 第一，求最大值、最小值、范围的一种常用方法是：把看作“一个变量”，找到关于这个变量的（所有）不等式，解不等式组即可求出。 例3（2020年新高考全国2卷）已知椭圆C过点M（2，3），点A为其左 顶点，且AM的斜率为. (1)求椭圆C的方程 (2)点N为椭圆C任意一点, 求面积的最大值. 思维学习方法： ①问题一：求椭圆C的方程 容易求得： ②问题二：求面积的最大值 方法：引进一个“变量”，求出面积，求出函数的最大值。 设N点坐标为(m,n) 第一，求出面积（把m,n看作已知数，用“点到直线的距离求高”） AM的直线方程是：y=x+2 第二，如何求的最大值 方法一：设,求出k的取值范围，找到最大值。 表示一条直线方程，点N（m,n）在直线上，因此要求直线与椭圆有交点，以此求出k的取值范围。 联立，有不等式：，求得： 求得的最大值是：12 面积的最大值是：18 方法二：用导数方法 f(x)=(通过观察，最大值在y<0部分，也可以两个部分都求一次) 求函数的最大值即可。 例4已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为. (1)求椭圆的方程; (2)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值. 思维学习方法： ①问题一：求椭圆C的方程 容易求得： ②问题二：求面积的最大值 方法：引进一个“变量”，求出面积，求出函数的最大值。 思考一：如何引进变量？ 直线是变化的，可设直线的方程为：y=kx+m(斜率存在时)和x=t(斜率不存在时)，分别求出面积，再找到最大值。 设A,B的坐标分别为：, 第一，斜率存在时，求出面积（把k,m看作已知数，求出） 联立 求得： 第二，利用“坐标原点到直线的距离为”找到“m,k的等式” 设t=,显然k可以为任何数， 第三，求函数的最大值 用导数方法或基本不等式求得： 因此，当直线AB的斜率存在时，面积的最大值为： 第四，计算当直线AB的斜率不存在时，面积 当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为：,求得 ， 综上，面积的最大值为 ③本题需要学会 第一，求最大值、最小值、范围，一般是引进一个变量，变为求函数的最大值。上述两个例题，很难仅引进“一个变量”，可以先“引进2个变量”，而这两个变量有“隐含等式”，如本题有“隐含等式”，最后还是化为“一个变量”。 第二，与直线有关的问题，一般都需要考虑斜率存在和斜率不存在两种情况，这样才包括所有直线，同时也需要考虑“斜率的取值范围”。 思维训练方法： 练习1 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点， 则的最小值为_______． 思维学习方法： 第一，F的坐标为（-1，0），设P的坐标为(x,y) 第二，计算： 变为一个变量x，得到：,求出函数的最小值即可。 答案：6 练习2平面直角坐标系中,过椭圆右焦点的直线交 于两点,为的中点,且的斜率为. (1)求的方程 (2)为上的两点,若四边形的对角线,求四边形面积的最大值. 思维学习方法： ①问题一：求的方程 第一，条件一：直线过椭圆M的右焦点，得到：c= 第二，设A,B的坐标分别为：, P点坐标为()： 有等式： 即： 联立,求得： 求得：的方程为： ②问题二：求四边形面积的最大值. 第一，引进“一个变量” 条件二：，直线CD的方程为y=x+t(t为变量) 第二，求出四边形的面积 第三，求 第四，求 设C,D的坐标分别为：, 联立,求得： 求得： 显然，当t=0