广东省江门市鹤山市纪元中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

纪元中学2023-2024学年第一学期期中考试高二 数学科试卷 考试时长：120分钟；命题人：范孝旺 审核人：杨建才 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知点，在直线上，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 经过直线 与直线 的交点，且平行于直线 的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方体中，点分别是的中点，直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 5. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，设，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知直线，则下列选项中不正确有（    ） A. 直线l的倾斜角为 B. 直线l的斜率为 C. 直线l不经过第三象限 D. 直线l的一个方向向量为 10. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与夹角的余弦值为 D. 11. 已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的一个法向量为，向量，，则（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 平面平面 12 已知直线l：，圆C：，点，则（ ） A. 若M在圆上，直线l与圆C相切 B. 若M在圆内，直线l与圆C相离 C. 若M在圆外，直线l与圆C相离 D. 若M在直线l上，直线l与圆C相切 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 在空间直角坐标系中，点关系平面对称的坐标为，关于轴对称的点坐标为，则_____. 14. 已知直线与圆交于A，B两点，则弦的长为__________． 15. 过点且倾斜角是直线：的倾斜角的两倍的直线的方程为______． 16. 自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域.如图所示，在平面直角坐标系中，，直线，的方程分别是，，现有一个圆形物体的圆心为，半径为，圆与，分别相切于点，，则______ 四、解答题（第17题10分，第18-22题各12分，共6小题70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知的三顶点的坐标为，，． （1）求直线的一般式方程； （2）求的面积． 18. 已知圆和. （1）证明：圆与圆相交； （2）求圆与圆公共弦长. 19. 如图，正三棱柱中，D是的中点，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知一圆的圆心为，且该圆被直线截得的弦长为. （1）求该圆的方程； （2）求过点该圆的切线方程. 21. 已知直线l：和圆C：． （1）求证：直线l恒过一定点M； （2）试求当m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最短； （3）在（2）的前提下，直线l'是过点且与直线l平行的直线，求圆心在直线上，且与圆C相外切的动圆中半径最小的圆的标准方程． 22. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 纪元中学2023-2024学年第一学期期中考试高二 数学科试卷 考试时长：120分钟；命题人：范孝旺 审核人：杨建才 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】A 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 【9题答案】 【答案】A