第二课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（1）讲义——2024届高三数学二轮复习

第二课时 圆锥曲线的常规等式问题的思维训练方法（1） 一、圆锥曲线需要学习的主要知识 1.椭圆 ①椭圆的焦点在x轴和在y轴，椭圆上的点（x,y）满足的等式是不同的。 焦点在x轴：有等式： 焦点在y轴：有等式： ②椭圆上的点P满足等式：(为椭圆的左、右焦点) ③学会利用“椭圆”的常用思维方法 第一，如果给定条件：P为椭圆上的一点，并且给定P点坐标为（x,y），一般需要 找到等式，或者 第二，如果给定条件：P为椭圆上的一点，需要找到的等式，一般用等式。 第三，注意：等式和是相同的等式，一般使用其中一 个即可。 第四，椭圆有隐含等式： 2.双曲线 ①双曲线的焦点在x轴和在y轴，双曲线上的点（x,y）满足的等式是不同的。 焦点在x轴：有等式： 焦点在y轴：有等式： ②双曲线上的点P满足等式：(为双曲线的左、右焦点) 特别，如果仅满足：，说明,图像仅有右支； 如果仅满足：，说明,图像仅有左支. ③学会利用“双曲线”的常用思维方法 第一，如果给定条件：P为双曲线上的一点，并且给定P点坐标为（x,y），一般需 要找到等式，或者 第二，如果给定条件：P为双曲线上的一点，需要找到的等式，一般用等式。 第三，注意：等式和是相同的等式，一般使用其中一 个即可。 第四，双曲线有隐含等式： 3.抛物线 ①抛物线的焦点在x轴和在y轴，抛物线上的点（x,y）满足的等式是不同的。 焦点在x轴：有等式：或 焦点在y轴：有等式：或 ②抛物线上的点P满足等式：点P到准线的距离。 ③学会利用“抛物线”的常用思维方法 第一，如果给定条件：P为抛物线上的一点，并且给定P点坐标为（x,y），一般需 要找到等式，或者等等式。 第二，如果给定条件：P为双曲线上的一点，需要找到的等式，一般用等式:点P到准线的距离 4.找到、、、的等式的方法 一般都是联立直线和椭圆、双曲线、抛物线方程消去y或x即可求得。 例1 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知，，则C的焦点到准线的距离为： （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 思维学习方法： ①问题：求C的焦点到准线的距离，即求p 设抛物线的方程为：，圆的方程为： ②找到p的等式 思考一：如何找到p的等式？需要找到几个等式？ 设A点坐标为（x,）, D点坐标为（），共有3个未知数，需要找到3个等式。 条件一：A点、D点在圆上，有等式： ， A点在抛物线上，得到等式： 解方程，得到：p=4 ③本题需要学会 第一，圆锥曲线问题主要就是要找“等式”，学会找等式的方法是学习的关键。常见的找等式的方法是：给定一点在某曲线上，实际就是给定一个等式。给定一点在某两条曲线的交点，实际是给定2个等式。 第二，一个点在圆上、在抛物线上等，都是给定一个等式，需要找到这样的等式。 第三，A点既在圆上、又在抛物线上，实际是给定2个等式，都需要找到。 例2（2019全国1卷）已知椭圆C的焦点为,过的直线与C交于A,B两点，若,则C的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 思维学习方法： ①问题：求C的方程 条件一：已知椭圆C的焦点为 焦点在x轴：有等式：，且c=1 问题的本质：求a,b ②找到a,b的等式 第一，条件二： 设(这是常规思维，便于表达和找等式)，, 思考一：如何找到等式？ 这些都是与“到焦点距离有关的等式”，一般要利用等式： 得到：x+3x=2a,,, 得到：, 因此A点坐标为（0，b） 思考二：如何找到a,b的等式？需要找到几个a,b的等式？ 2个未知数需要2个等式，有隐含等式：,仅需1个等式。 本题点B在“椭圆上”，有一个等式，可以找到a,b的等式。设点B的坐标为（） 思考三：如何找到的等式呢？ 三点共线，可以找到等式（三点共线一般利用向量等式）： （方向相同，长度相等） 即：,得到： 点B在“椭圆上”，有等式:,求得： 答案：B ③本题需要学会 第一，与“椭圆上的点到焦点距离有关的等式”，一般要利用等式： 第二，三点共线，一般利用向量找到等式，需要注意：必须方向相同，长度相等。 第三，点B在“椭圆上”，可以找到a,b的一个等式，这是经常容易“忽略”的等式。 例3（2019全国1卷）已知双曲线C：的左右焦点为,过的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点，若,则C的离心率是（ ） 思维学习方法： ①问题：求C的离心率 即找到a,b,c的（1个）等式 根据条件，画出图形如右（特别注意A,B的位置） 设A,B的坐标分别为：（）, （） ②找到a,b的等式 第一，条件一： 得到等式：（）=（） 解得： 第二，条件二： 得到等式： 得到等式： e=2 答案：2 例4（2019年全国I卷）已知抛