第一课时 直线和圆问题的思维训练方法 讲义——2024届高三数学二轮复习

模块五 高考数学思维训练教程 —直线、圆、圆锥曲线 第一课时 直线和圆问题的思维训练方法 一、直线和圆需要掌握的主要知识 直线方程和圆的方程的学习方法:直线和圆都是由一些点组成,每一个点代表“一个等式”,因此,给定直线和圆上的一个点就是给定一个等式,要学会“等式思维”。 二、学会解决与直线及圆有关问题的思维方法是学习的关键 1. 求直线方程常规方法 ①一般设直线方程为“斜截式”,一般需要考虑两种情况: 第一,当斜率k存在时,可设直线方程为:y=kx+b,直线问题就是两个未知数问题,需要找两个等式。 第二,当斜率k不存在时,可设直线方程为:x=b, 直线问题就是1个未知数问题. ②如果给定条件直线过一点(),当斜率k存在时,可设直线方程为:, 是1个未知数问题,当斜率k不存在时,可设直线方程为: 2. 求圆的方程的常规方法 一般设圆心坐标(a,b),圆的半径r,圆的方程为:,这样圆的问题是3个未知数问题,找3个等式。 3. 解决与直线及圆有关问题的思维方法 ①总是用圆心到直线的距离解决。 ②一定要利用两个隐含等式: 第一,圆心A(a,b)到直线kx-y+m=0的距离d:有等式: 特别,直线kx-y+m=0为圆的切线时有等式: 第二,弦心距d、弦长n的一半及圆的半径r构成一直角三角形 有等式: 例1 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (2)直线过点(5,10),且原点到直线的距离为5. 思维学习方法: ①问题一 第一,问题:求直线的方程 思考一:直线的斜率存在吗?这是所有与直线方程有关问题必须思考的问题。 有条件:在两坐标轴上的截距之和为12,因此斜率存在,且不为0. 设直线方程为:y=k(x+3)+4 问题的本质:一个未知数,找k的一个等式,解方程。 第二,找k的一个等式 条件一:在两坐标轴上的截距之和为12 取x=0,y=3k+4,取y=0,x=,有等式: 解得:k=4 或 直线方程为:y=4x+16 或 ②问题二 第一,问题:求直线的方程 思考一:直线的斜率存在吗? 无法判断,需要讨论。 第二,当斜率不存在时,直线方程为:x=5 满足条件:原点到直线的距离为5,x=5为所求的一条直线。 第三,当斜率存在时,设直线方程为:y=k(x-5)+10,1个未知数找1个等式。 条件二:原点到直线的距离为5 有等式:,求得: 直线方程: 3x-4y+25=0 综上:直线方程为:x=5 或3x-4y+25=0 ③本题需要学会 求直线方程问题,必须考虑两种情况:直线斜率存在、不存在,分别求得。 例2已知直线与圆心为的圆相交于两点,且为等边三角形,则实数_. 思维学习方法: ①问题:求实数a,一个未知数找到a的1个等式。 ②找到a的等式 思考一:如何找到a的等式? 这是与圆的弦有关的问题,其思维是:必须利用圆心C(1,a)到直线的距离公式弦心距:,找到圆的弦长n、半径r、弦心距d的等式: 条件一: ABC为等边三角形 有:圆的弦长n=2,半径r=2,圆心C(1,a), 找到a的等式: 求得: ③本题需要学会 本题是与“圆的弦”有关的问题,一般需要利用隐含等式:找到等式。特别本题给定,需要利用找到a的等式。 例3 若圆与圆的公共弦长为,则a=_. 思维学习方法: ①问题:求实数a,一个未知数找到a的1个等式。 ②找到a的等式 思考一:如何找到a的等式? 这是与“两个圆的公共弦”有关的问题,其思维是:找到公共弦的直线方程,变为“一个圆的弦的问题”解决。 第一,找到公共弦的直线方程 两个圆的方程“相减”得到:ay-1=0,为公共弦的直线方程 第二,找到a的等式 利用等式:,求得:d=1 利用弦心距隐含等式:得到a的等式,解得a=1 ③本题需要学会 本题是与“两个圆的公共弦”有关的问题,其思维是:找到公共弦的直线方程,变为“一个圆的弦的问题”解决。再利用隐含等式:找到需要的等式。 例4 (2021年新高考全国1卷)(多选题)已知点P在圆上,点A(4,0),B(0,2),则( ) A.点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C.当最小时, D. 当最大时, 思维学习方法: ①求出直线AB的方程: ②求出点P到直线AB的距离的最大值和最小值 方法:求出“圆心到直线的距离”,+R就是最大值,-R就是最小值 第一,求出“圆心到直线的距离” 显然,d<6, 点P到直线AB的距离的最大值<10, 点P到直线AB的距离最小值<2 选择A正确,选择B错误。 ③求出当最小或最大时,的值 当最小或最大时,PB为圆的切线,两种情况的值相同。 先求出BC的长度(C为圆心,如图), 选择C,D正确. 答案:A C D 例5 [2020年全国1卷]已知⊙M:,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动