专题12 平行线中的重难点模型（三大类）-2023-2024学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题12 平行线中的重难点模型（三大类） 重难点题型归纳 【题型1 猪蹄型】 【题型2 铅笔型】 【题型3 抬头型】 【方法点拨】 模型一“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 【题型1 猪蹄型】 【典例1】已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP． （1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD； （2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD； （3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数． 【变式1-1】【问题解决】： 如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整； 解：过点E作EF∥AB ∴∠ABE＝∠BEF（ 　　 ）； ∵EF∥AB，AB∥CD（已知）； ∴EF∥CD（ 　 　）； ∴∠CDE＝（ 　 ）（ 　 　）； 又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（　 ）； ∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（ 　 　）； ∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）； ∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）； 【问题迁移】： 请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题： 如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β． （1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由； （2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC之间满足的数量关系． 【变式1-2】如图1，已知AM∥CN，点B为平面内一点，过点B作BD⊥AM于点D，AB⊥BC于B． （1）若∠MAB＝120°，则∠ABD＝　　． （2）求证：∠ABD＝∠C． （3）如图2，G在射线DA上，当BG平分∠DBC时，求∠ABG与∠DAB的数量关系． 【题型2 铅笔型】 【方法点拨】 模型二：“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD内部 “铅笔”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 【典例2】如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH； （3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，∠HPQ＝45°，K是GH上一点，连接PK，作PQ平分∠EPK，若∠PHG＝15°，求∠QPK的度数． 【变式2-1】已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN﹣∠BDF的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 【变式2-2】问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC． （1）按小明的思路，易求得∠APC的度数为 　　度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、