福建省泉州市普通高中2023-2024学年高二上学期12月学科竞赛数学试题

数学竞赛试题 第1页（共 2 页） 2023 年泉州市普通高中数学学科竞赛试卷 2023.12 本试卷共 20 题，满分 200 分，共 2 页，考试用时 150 分钟。 一、填空题：本题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分。 1．设集合 3 { | } 1 0 x A x x     ， 2 3 2 0{ | }B x x x    ，则 A B =__________． 2．已知 2 3x  ， 3 9 log 2 y ，则 1 y x   __________． 3．已知数列{ }na 满足 1 1a  ， *1 1 ( )( 1) n n n n a a a a n n n     N ，则 na  __________． 4．若 3 sin( ) 3 5 x     ，且 5 ( , ) 6 6 x     ，则 sin(2 ) 3 x    __________． 5．记 , , max{ , } , , a a b a b b a b     ≥ 则函数 2( ) max{| 1|,| 5 |}f x x x   的最小值为__________． 6．设 ,a b为实数，且 0ab  ，虚数 z为方程 2 0ax bx a   的一个根，则 | 1 i |z   的最大值为__________． 7．已知函数 ( 1)y f x  的图象关于直线 1x   对称，当 0x  时， 1( ) e xf x  ，设 10 a    ， 1 cos 5 2 b    ， 2 2 tan 20 1 tan 20 c     ，则 ( ), ( ), ( )f a f b f c 的大小关系为__________．（请用“<”连接） 8．已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，点O满足 sin 2 sin 2 sin 2 0A OA B OB C OC         ，若 2a  ， 6BC OA    ，则 sin A的最大值为__________． 9．过点 1 (0, ) 2 F 的直线 l与抛物线 2 2x y 交于 ,A B 两点，则 4AF BF 的最小值为__________． 10．在直角 ABC△ 中， 2AB BC  ，D是 ABC△ 内的动点，则 2 5AD BD CD  的最小值为__________． 11．现有一个上部分轴截面为半椭圆的玻璃杯（如右图），其杯口内径为 4 cm，深 8 cm，现将一 半径为 r cm 的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则 r 的取值范围为__________． 12．已知函数 ( )f x (e )e xx a ，当 (0, )x  时， ( ) ef x x ，则实数 a的取值范围为__________． 13．有 2024 个半径均为1的球密布在正四面体 ABCD内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体 的面相切），则此正四面体的外接球半径为__________． 14．已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 2 22 2 3 23a b c   ，则 ABC△ 面积的最大值为 __________． 15．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并 列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数 [ ]( )y x x R 称为高斯函数，其中[ ]x 表示不超过 x的 最大整数.设 2024 1 2024 2024 ( 1) 2023 k k k k S          ，则 S 除以 2023的余数是__________． 保密★使用 数学竞赛试题 第2页（共 2 页） 二、解答题：本题共 5 小题，共 110 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．(20 分) 将数列{2 5}n  与{3 3}n  的公共项从小到大依次排列得数列{ }na ． （1）求 na 的通项公式； （2）设 2 3 n n nb a  ，求数列{ }nb 的前 n项和 nS ． 17．(20 分) 已知 ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，且 2 24 cos 3( )ab C a c  ． （1）若 2π 3 A  ，求C； （2）若 1bc  ，当 B最大时，求 AB