第4讲 全等三角形（第十二章）-2023-2024学年八年级数学上学期一点通 （人教版数学 ）

八年级数学一点通 第4讲 全等三角形 1. 了解全等三角形的概念和性质； 2．掌握三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明； 3．会利用尺规作图作已知角的平分线；理解解角的平分线的性质，并能利用三角形全等证明角的平分线的性质，能灵活利用角的平分线的性质解决相关问题. 考点1：全等三角形的概念 1.全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2.全等三角形：能完全重合（即形状相同，大小相等）的两个三角形叫做全等三角形。 3.重合的对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 考点2：全等三角形的性质 文字语言 图形语言 符号语言 全等三角形的对应边相等，对应角相等； 考点3：全等三角形的判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 简记 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． ASA 有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等 AAS 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 考点4：角平分线的性质 1.角的平分线的性质： 文字语言：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 图形语言：见右图 符号语言： ∵OC平分∠AOB,点D在OC上，DE⊥OA,DF⊥OB ∴DE=DF 2.点在角平分线上的判定定理： 文字语言：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 图形语言：见右图 符号语言： ∵点D在OC上，DE⊥OA,DF⊥OB，DE=DF ∴OC平分∠AOB, 3.角平分线常用辅助线画法： (1) 如图1，过角平分线上点D作角的两边的垂线，构造全等三角形； (2) 如图2，在角的两边上截取等长线段，构造全等三角形； (3) 如图3，过角平分线上点D作角平分线的垂线，构造全等三角形； (4) 如图4，过角平分线上点D作角的一边的平行线，构造等腰三角形。 考点5：证明三角形全等的分析思路 题型一：全等三角形的概念 例题1．下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状、大小相同的三角形 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．周长相等的两个三角形是全等三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形 题型二：利用全等三角形的性质计算 例题2．如图，（点，，的对应点分别为，，），若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型三：全等三角形的判定方法 例题3．如图，在和中，点在同一条直线上，，，只添加一个条件不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 例题4．如图，要用“”判定和全等的条件是（    ） A．， B．， C．， D．， 例题5．如图，AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E. (1)求证：△ABE≌△ACD； (2)若AE=6，CD=8，求BD的长. 题型四：添加条件使得三角形全等 例题6．如图，与相交于点，且，要添加一个条件，才能使得，那么可以添加的一个条件是： 添加： ，判断三角形全等的依据是； 添加：，判断三角形全等的依据是 ； 添加： ，判断三角形全等的依据是 ． 例题7．如图，点在一条直线上，，，请你从下列三个条件中选择一个合适的条件，使成立，并说明理由． 供选择的条件：①；②；③． 题型五：角平分线的尺规作图问题 例题8．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，由此作法便可得，其依据是（　　） A． B． C． D． 例题9．如图，已知．根据下列作图回答问题：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点C、D；③以为圆心，以长为半径画弧，交于点；④以点为圆心，长为半径画弧，与第③步中所画的弧相交于点；④过点画射线，则，这种做法正确的理由是（    ） A．由可得，进而可证 B．由可得，进而可证 C．由可得，进而可证 D．由“等边对等角”可得 例题10．如图，用直尺和圆规作的平分线的示意图如图所示，则下列选项中，能说明图中所作出的射线是的平分线的依据是（    ） A． B． C． D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等 题型六：角平分线的性质应用 例题11．如图，，，若，，则点D到的距离为（    ）cm． A．3 B．4 C．5 D．7 例题11 例题12 例题12．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．120 B．60 C．45 D．30 题型七：判定一个点在角平分线上 例