精品解析：上海市青浦区2024届高三上学期期终学业质量调研数学试题

2023学年第一学期高三年级期终学业质量调研 数 学 试 卷 Q2023.12 学生注意： 1．本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2．在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1 已知集合，，则_______． 2. 若复数满足，则________． 3. 已知满足，则______．（结果用含有的式子表示）． 4. 2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后，园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是___． 5. 的二项展开式中项的系数为___________. 6. 表面积为的球的体积为__________. 7. 某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第百分位数为_______． 8. 若函数是奇函数，则该函数所有零点是________． 9. 已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为______． 10. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为____________． 11. 已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为____________． 12. 已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为____________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知，，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ）. A B. C. D. 15. 已知直线m，n，平面，，给出下列命题，其中正确的命题的个数是（ ） ①若，，且，则 ②若，，且，则 ③若，，且，则 ④若，，且，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．对于曲线有如下命题：存在常数，使得曲线为单轨道曲线； 存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是（ ）. A. 和均为真命题 B. 和均为假命题 C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面． （1）求证：平面； （2）若直线与所成的角大小为，求的长． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求角的大小； （2）若，求的周长的最大值． 19. 上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设： 1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2.所有人员排成单列行进撤离； 3.队列中人员的间隔是均匀的； 4队列匀速地撤离建筑物． （1）上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； （2）如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 20. 已知椭圆的离心率是，长轴长，椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，，是椭圆上三个不同的点，是椭圆的右焦点，若原点是的重心，求的值； （3）已知，椭圆四个动点，，，满足，，求直线的方程． 21. 已知有穷等差数列的公差d大于零． （1）证明：不是等比数列； （2）是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由； （3）若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期高三年级期终学业质量调研 数 学 试