7.4 三角函数的应用（4大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

7.4 三角函数的应用 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1、简谐运动的振幅就是A. 2、简谐运动的周期. 3、简谐运动的频率. 4、称为相位． 5、x＝0时的相位φ称为初相． 二、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 三、建立函数模型的一般步骤 四、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1、由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2、由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3、利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 五、解三角函数应用问题的基本步骤 1、审清题意：读懂题目中“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题； 2、建立函数模型：整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型； 3、解答函数模型：利用所学的三角函数知识解答的得到的三角函数模型，求得结果； 4、得出结论：将所得结论翻译成实际问题的答案。 六、建立三角函数拟合模型的注意事项 1、在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． 2、在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． 3、在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 三角函数在物理中的应用 【例1】（2023·全国·高三对口高考）已知简谐振动的振幅为，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（2023·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（ ）    A．频率为 B．初相位或 C．振幅 D．当时，小球第三次回到平衡位置 【变式1-2】（2023·江苏宿迁·高一统考期末）如图点为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为，周期为，且物体向左运动到平衡位置开始计时，则物体对平衡位置的位移和时间之间的函数关系式为 ．    【变式1-3】（2023·山东菏泽·高一鄄城县第一中学校考期末）如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：cm）由关系式确定，其中，，.在振动中，小球两次到达最高点的最短时间间隔为1s.且最高点与最低点间的距离为10cm. （1）求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； （2）若小球在内经过最高点的次数恰为25次，求的取值范围. 题型二 三角函数在生活中的应用 【例2】（2023上·高一课时练习）车流量被定义为单位时间内通过某路段的车辆数，若上班高峰期某十字路口的车流量F （单位：辆/分钟）与时间t （单位：分钟）的函数关系式为，则车流量增加的时间段是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·北京·高一北京市第一六六中学校考期中）如图，已知某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中，，），那么12时温度的近似值（精确到1℃）是（ ） A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃ 【变式2-2】（2023·江西萍乡·高一统考期中）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽培．时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开花时所需气温约为20℃，气温上升到约30℃开始闭合，在花期内，时钟花每天开闭一次．某景区种有时钟花，该景区6时～16时的气温（℃）随时间（时）的变化趋势近似满足函数，则在6时～16时中，赏花的最佳时段大致为（ ） A．7.3