数列思维训练讲义-2023届高三数学二轮复习

模块三 高考数学思维训练教程 —数 列 第一课时 等差数列 等比数列思维训练方法 一.数列需要掌握的主要知识 1.等差数列、等比数列的通项公式和求和公式 等差数列通项公式： 等差数列求和公式： 等比数列通项公式： 等比数列求和公式： 学习方法：等差数列、等比数列的通项公式和求和公式需要理解为“很多等式”，一般要利用这些“等式”把化为，d(或q)的等式。 2.一般数列隐含的等式 ，，第一个是“一个等式”， 第二个需要理解为“很多等式”。 3.两个求和方法 错位相减法和裂项相消法。 二.数列问题的主要类型，学会解决这些问题的思维方法是学习的关键 第一类：如果有条件：数列是等差数列，或者是等比数列，这类是等差等比数列问题。 第二类：没有给定数列是等差数列或是等比数列，这类是一般数列问题。 第三类：学会两种特殊数列的求和方法，这类是特殊数列求和问题。 第一类数列问题，给定条件：数列是等差数列，或者是等比数列，解决这些问题的思维方法是什么呢？ 学会解决等差数列、等比数列问题的常用思维方法： ①与等差数列、等比数列有关问题，一般是两个未知数问题 第一，等差数列主要有两个未知数：和d 第二，等比数列主要有两个未知数：和q 主要思维是：2个未知数，找到2个等式，解方程。 ②等差数列、等比数列找等式的方法 第一，通项公式和前n项和公式都是关于和d（q）的等式，并且是“很多”等式。 第二，通过等差中项和等比中项很容易找到“一个”等式。 ③证明一个数列是等差数列、等比数列的方法 主要学会一个方法： 第一，证明是等差数列，需要证明：是常数，需要理解的是：不是一个等式，而是“很多等式”，需要每一个等式都成立，经常需要注意的是：成立吗？ 第二，证明是等比数列，需要证明：是常数，需要理解的是：不是一个等式，而是“很多等式”，需要每一个等式都成立，经常需要注意的是：成立吗？ 例1 已知等差数列的前n项和，且,. 设， 求证：是等比数列，并求其前n项和. 思维学习方法： ①问题的本质 问题：求证：是等比数列 方法：证明：是常数，（注意：这是“很多数”，这些数是同一个数） ②求出数列 条件一：等差数列 等差数列是两个未知数和d的问题，需要找2个等式。 条件二：, ,求得：d=1 ③证明：是常数 易得： 是等比数列 ④请补充表达过程 例2（2014，新课标I）设等差数列{an}的前n项和为Sn，=－2，=0，=3，则= ( ) A、3 B、4 C、5 D、6 思维学习方法： ①问题的本质 问题：求m的值 给定等差数列{an}，有两个未知数和d，3个“未知数”，找3个等式。 ②条件包含的等式 第一，条件一：等差数列 等差数列要用和d表示，有等式： 第二，条件二：=－2，=0，=3 这是3个等式，化为、d、m的等式，解方程即可求得，是“二次函数”，比较复杂。利用等式：,可以简化方程 第三，找到关于m的等式。 ，即：， 解得：m=5 ③本题需要学会 第一，本题是3个未知数问题，找到3个等式即可。 第二，本题给定的是和的等式，这是一个“二次等式”，一般要化为的等式，方程更简单。 例3 已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(),a3+a4+a5=64) (1)求{an}的通项公式; (2)设bn=()2,求数列{bn}的前n项和Tn. 思维学习方法： ①问题一 第一，问题：求数列的通项公式 条件一：{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(),a3+a4+a5=64) 设, 这是2个未知数问题，需要找到2个等式。 有等式： ∴an=2n﹣1 ②问题二 第一，问题：求数列{bn}的前n项和Tn. 思考一：不是等差数列、等比数列，不能用相关公式计算，如何求和呢？ 常规方法是：利用求和定义写出Tn，再“分组求和”，注意n要看作“确定的数”，而不是“变化的数”，这样便于理解。 ③请补充表达过程 例4 已知公差大于零的等差数列的前项和为,且满足, . (1)求通项; (2)若数列满,是否存在非零实数使得为等差数列?若存在,求出的值; 若不存在,请说明理由. 思维学习方法： ①问题一 第一，问题：求数列的通项公式 条件一：公差大于零的等差数列,且满足, 设, 这是2个未知数问题，需要找到2个等式。 有等式：, 解得：=1，d=4 ②问题二 第一，问题：是否存在非零实数使得为等差数列? 思考一：如何解决呢？ 常规方法是：假设存在这样的等差数列，求出c,找到数列，是等差数列即可，如果“不能求出c，则说明没有”。 这是1个未知数，找到1个等式问题。 思考二：如何找到c的等式呢？ 第二，（方法一）找到c的等式 因为是等差数列，有等式：, (不要用等式：，这是“很多等式”，太复杂) 由(1)知,