函数性质与图像思维训练讲义-2023届高三数学二轮复习

模块一 高考数学思维训练教程 —函数性质与图像 第一课时 函数等式的思维训练方法 一.函数需要掌握的主要知识 1.函数是什么 函数是一个对应关系，一个函数包含“很多等式” 如函数 有等式：f(0)=2,f(-3)=17, f(4)=10等很多等式，但没有等式f(6)=26. 2.函数的奇偶性、周期性、对称性也是很多等式 如函数的图像关于x=1对称， 有等式：f(1-1)= f(1+1)，f(1-3)= f(1+3)等。 3. 函数的单调性是给定很多不等式 如函数在区间[1,5]中单调增， 有不等式：f(1)< f(2)< f(3)< f(4)等。 二.函数的利用方法 利用函数给定的等式或不等式，找到需要的等式或不等式。 三. 函数问题的主要类型，学会解决这些问题的思维方法是学习的关键 函数问题主要有两类： 第一类：是找等式，主要利用函数、奇偶性、周期性、对称性包含的等式找到需要的等式。 第二类：是找最大值、最小值、范围等，主要利用函数的单调性包含的不等式找到需要的最大值、最小值等。 例1 已知函数f(x)为R上的奇函数，且f(-x)= f(x+2),当,,则f(101)+ f(105)的值为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 思维学习方法： ①条件的理解方法 第一，条件一：,的意义是什么？ 这是很多等式.有：f(0)=1+a，等。 第二，条件二：函数f(x)为R上的奇函数 这是很多等式.有等式：f(-1)= -f(1), f(-2)=- f(2)等，特别有等式：f(0)=0 第三，条件三：f(-x)= f(x+2) 这是很多等式.有等式：f(-1)= f(3), f(-2)=f(4)等 第四，根据条件二和条件三可以得到的等式（周期性） f(x+2)= f(-x)= -f(x) f(x+4)= - f(x+2)=f(x)，得到f(x)是周期为4的周期函数。 第五，a是需要求出的数，还是可以保留呢？ 本题通过给定的条件，可以求出a，应该求出。（从结果来看，也应该求出a） 思考一：如何求出a？ 方法：找到a的等式. 思考二：哪一个条件给定了a的等式？ 条件一：函数f(x)为R上的奇函数 有等式：f(0)=0， 即：1+a=0,a=-1 ②问题：求f(101)、f(105) 第一，有等式：f(101)= f(1)= 第二，有等式：f(105)= f(1)= 答案：A ③本题需要学会 第一，函数是给定“很多等式”，奇函数是给定“很多等式”，特别有f(0)=0, f(-x)= f(x+2) 是给定“很多等式”. 第二，同时利用奇函数和f(-x)= f(x+2)包含的等式，可以得到函数是周期函数，即可以找到更多的等式。 例2 已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，；当时,f(-x)=-f(x)；当时， ,则f(6)=_____ （A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2 思维学习方法： ①条件的理解方法 第一，条件一：x<1时,的意义是什么？ 这是很多等式.有：f(-1)=-2，等。 第二，条件二：当时,f(-x)=-f(x) 这是很多等式.有等式：f(-1)= -f(1), f(-0.5)=- f(0.5)等，特别有等式：f(0)=0 第三，条件三：当时， 这是很多等式.应该化简等式。 化简的方法是：换元，设(t为“较小的数”)，等式变为：t>0时，f(t)=f(t+1) 有等式：f(6)=f(1),特别注意：没有等式f(1)=f(0) ②问题：求f(6) 第一，有等式：f(6)= f(1) 第二，有等式：f(1)=-f(-1)=2 答案：D 例3（2019全国1卷）关于函数有下述4个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间上单调递增 ③f(x)在区间上有4个零点 ④f(x)的最大值为2 则其中正确的结论的编号是（ ） （A）①②④ （B）②④ （C）①④ （D）①③ 思维学习方法： ①结论一：f(x)是偶函数吗？ 容易得出：f(-x)=f(x)，正确。 ②结论二：f(x)在区间上单调递增吗？ 化简函数（去掉绝对值）：f(x)=2sinx，是减函数，不正确。 ③结论三：f(x)在区间上有4个零点吗？ 化简函数（去掉绝对值）： 当时, f(x)=-2sinx，有2个零点； 当0时, f(x)= 2sinx，有1个零点；不正确 ④结论四：f(x)的最大值为2吗？ 容易得出：正确。 答案：B 例4（2020年全国新高考 I 卷]基本再生数与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始