2024年九年级中考数学高频考点突破——相似三角形

2024年中考数学高频考点突破——相似三角形 1．如图1，在正方形中，E是上一点，作，垂足为点P，交于点F．    (1)求证：； (2)如图2，延长交的延长线于点G； ①如果E是AD的中点，求的值； ②如果，求的长度． 2．如图1，在中，，，．半圆的直径为，在初始位置时，圆心与点重合，为半圆上的点．且．    (1)求证：； (2)如图2，将半圆绕点逆时针旋转（旋转角度不超过），当半圆恰好与的边相切时，求点运动的路径长； (3)当半圆旋转至如图3所示的位置时，与直线交于点，，且，求的值． 3．（1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：； （2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交于点，求的长．    4．(一)感知：如图，是的中位线，，、分别是、的中点，则；用字母表示与间有怎样的相等关系：． 二探索：如图，在四边形中，，其中，，是的中点，交于点，则．用字母，表示 在上，在上，，且使四边形四边形，则用字母，表示 在上，在上，， 且平分四边形的面积，求的长用字母，表示 三猜想：、、间的大小关系：，用、的表达式表示并对与间的关系进行证明； 四应用：如图，在中，，，，点、分别在、上，平分的面积，求周长的最小值．    5．已知：如图，在中，点D在边上，与分别相交于点．    (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，点D是的中点，连接，求的长． 6．如图1，在直角梯形中，，，动点P、Q同时从B出发，速度都是，点P沿、、运动到点C停止，点Q沿运动到C点停止．当点P运动到A点时，点Q恰好运动到C点．设P点运动的时间为时，的面积为．已知点P在边上运动时y与t的函数图象是图2中的线段．    (1) ， ， ，点M的坐标为 ． (2)P在边上运动时，是否存在时刻t，的周长最小？若不存在，请说明理由． (3)能否成为等腰三角形？若能，直接写出t值；若不能，请说明理由． (4)分别求出P在边上和边上运动时y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图2中补全整个运动中y与t的函数图象． 7．在矩形中，，，为射线上一动点，连接，过作于．    (1)如图，连接，当，，三点在一条直线上时； ①求的长； ②连接并延长交于，求证：； (2)如图，已知为中点，当时，求的值． 8．【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点E，若，，，则的长度＝______cm． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知A是上一定点，B为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线与交于点E，的半径为，当点E到的距离为时，求弦的长度．    9．在矩形中，，．点为边上一动点，连接，在右侧作，，．    (1)如图1，若点恰好落在边上，求的长； (2)如图2，延长交边于点，当时，求的值； (3)连接，当为等腰三角形时，求的长． 10．在中，，，是上一点（不与点，重合），连接，过点作于点，连接并延长，交于点．    (1)如图1，当时， ①求证：； ②求证：； (2)如图2，若是的中点，求的值（用含的代数式表示）． 11．如图1，在平面直角坐标系中，直线过点，，与轴交于点．点，分别为线段，上的一点（不含端点），且．    (1)求和的值； (2)当与中的一个角相等时，求线段的长； (3)如图2，连接交于点，将点绕点逆时针旋转至点，若点到轴的距离恰好等于的长，求的面积． 12．在矩形中，，点是上一点，是上一点，将四边形沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，连接．    (1)【特殊呈现】当时．求证：； (2)【类比探究】当时，中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明用含的式子表示)； (3)【拓展应用】当时，沿矩形对角线剪开后得到，点是上一点，连接，过点作于，的延长线交于，若的周长为，，求的长． 13．如图，在矩形中，，，是上一点，．是上的动点，连接，是上一点且（为常数，），分别过点，作，的垂线，交点为．设的长为，的长为．    (1)若，，则的值是 (2)若时，求的最大值． (3)在点从点到点的整个运动过程中，若线段上存在唯一的一点，求此时的值． 14．如图1，点O为矩形ABCD对角线BD的中点，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F，．将矩形沿折叠，点A的对应点为点H，点B