2023年全国高考数学1卷第21题探究课件

2023年全国1卷21题探究 ——马尔代夫链的介绍 原题呈现 （2023年新高考1卷）21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第 次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ，记前 n次（即从第1次到第 n次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求 ． 【小问1详解】 记“第 i次投篮的人是甲”为事件 ，“第i 次投篮的人是乙”为事件， 所以， 【小问2详解】 设 ，依题可知， ，则 ， 即 ， 构造等比数列 ， 设 ，解得 ，则 ， 又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列， 即 ． 【小问3详解】 因为 ， ， 所以当 时 ， ， 故 ． 试题分析 这道题出现在2023年高考1卷的21题，以往此题都是导数或是圆锥曲线，但今年试卷的布局发生很大改变，导数放在了19题，21题则安排了概率问题，可见在2023年高考1卷中对于概率问题的重点考察.这道题的第一问都是常规题型，在大多数的模拟题中第一问都是差不多的难度，这道题的难道就是在于第二问，第二问又和第三问连在了一起，要是第二问解不出来，对于第三问就基本解决不了了.而第二问的难度在于存在n，这个n 给考场上的考生一大考验，第一问的都是最多到第二次，但第二问直接提升到了n次的情况，这就让考生摸不着头脑了，那这道题如果真的在考场它的思路是什么呢？其实第二问是把概率问题和数列问题综合起来，考察了同学们利用数列解决概率问题的能力，即构造数列，这对于从未接触过此类题型的考生来说，在高考如此紧张的关节是很难能解决出来的，其实第二问考察了马尔代夫链，因此借此题对马尔代夫链进行深剖，以便同学们在下次再遇见此类问题能够迎刃而解. 马尔代夫链在模拟题的呈现 （2023年茂名市第二次模拟考试）马尔代夫链是因俄国数学家安德烈.马尔代夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n+1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n-1、n-2、n-3……次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状质地相同的2个红球和1个黑球.从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n次操作后，记甲盒子中黑球个数为，甲盒中恰有1个黑球的概率为，恰有2个黑球的概率为. （1）求的分布列； （2）求数列{}的通项公式； （3）求Xn的期望. 解：（1）由题可知，的可能取值为0，1，2.由相互独立事件概率乘法公式可知： P(=0) ；P(=1) +；P(=2) = 故分布列如下表： （2）由全概率公式可知： P() P() P() + P() P()+ P() P() (+) P()+() P()+ () P()P()+P()+P() 即 = ++ 所以 = + 所以 = 且=P() + 所以数列{}是以为首项，为公比的等比数列 所以= = 即=+ 0 1 2 P （3）由全概率公式得： P() P() P() + P() P()+ P() P() () P()+() P()+ 0P() 即：=+ 又=+ 所以=+)+ 所以+=(+) 且= P() 本题在题目处明确的提出了马尔代夫链，其考察的知识点与2023年新高考1卷的21题是一模一样的，由此可知，2023年新高考1卷的21题即是命题者站在更高的数学视野下，利用概率知识为载体，考察学生对于马尔代夫链中的数学思想的学习，创新型强。 马尔代夫链的介绍 1、定