二项分布和超几何分布讲义-2024届高三数学二轮专题复习

辨析二项分布与超几何分布m) ．即 教材中对于超几何分布和二项分布是这样定义的 （1）超几何分布：一般地，设有 N 件产品，其中有 M(M≤N)件次品．从中任取 n (n≤N)件产 品， 用X 表示取出的 n 件产品中次品的件数， 那么 P(X＝k)＝ (k＝0,1,2 ，…， X 0 1 … m P CM (0)CN－ (n－)M (0) CN (n) CM (1)CN－ (n－)M (1) CN (n) … CM (m)CN－ (n－)M (m) CN (n) 其中 m ＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n ，M，N∈N*. 如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． （2）二项分布：①独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一 种试验， 在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要 么不发生， 且任何一次试验中发生的概率都是一样的． ②在 n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事 件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k) ＝Cnp (k)k(1－p)n－k(k＝0,1,2 ，…，n)，此 时称随机变量X 服从二项分布，记为 X～B(n，p)，并称p 为成功概率． 超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而 二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。 超几何分布和二项分布这两种离散型随机变量的概率分布表面上看来风马牛不相及，但 通过论证，我们发现这两种分布可以通过有无“返回 ”，可把二项分布看作超几何分布的极 限，它们的期望和方差之间也存在这种极限关系． 例 1 一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 . （Ⅰ）求白球的个数； （Ⅱ）从袋中任意摸出 3 个球， 记得到白球的个数为X，求随机变量X 的分布列． 解析（Ⅰ）记“从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球”为事件A，设袋中白球的个数为 x，则 P(A) ＝1 － C10 (2) ＝9，得到 x ＝5.故白球有 5 个.C10 (2)－x 7 (Ⅱ) X 服从超几何分布，P(X＝k) ＝ ，k＝0,1,2,3. 于是可得其分布列为 X 0 1 2 3 P 1 12 5 12 5 12 1 12 点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题， 随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分 布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体， 考查某类个体数 X 的分布列．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等 概率模型， 其实质是古典概型. 例 2 在一次数学考试中， 第 21 题和第 22 题为选做题．规定每位考生必须且只须在其中选 做一题．设 4 名学生选做每一道题的概率均为 . (Ⅰ) 求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率； (Ⅱ)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ξ,求 ξ 的分布列. 解析(Ⅰ) 设事件A 表示“ 甲选做第 21 题”，事件 B 表示“ 乙选做第 21 题” ，则甲、乙两名学 生选做同一道题的事件为“AB＋ A B ，且事件 A 、B 相互独立. 故 P(AB＋ A B )＝P(A)P(B)＋P( A )P( B ) ＝×＋1 －×1 －＝ . (Ⅱ) 随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4，且 ξ~B(4 ，)， 则 P(ξ =k) ＝C4 (k)k1 －4－k ＝C4 (k)4(k＝0,1,2,3,4) . 故变量 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 点睛 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 （1）在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值， 再准确利用公式求概率. （2）根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系， 确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率. 例 3 PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物， 也称为可入肺颗粒物，对人体 健康和大气环境质量的影响很大．我国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级； 在 35 微克/立方米～75 微克/立方米之间空气质 量为二级； 在 75 微克/立方米以上空气质量为超 标．某市环保局从 360 天的市区 PM2.5 监测数据 中，随机抽取 15 天的数据作为样本