精品解析：四川省成都市石室中学2024届高三一模数学（理）试题

成都石室中学2023-2024年度上期高2024届一诊模拟 数学试题（理） （总分：150分，时间：120分钟 ） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知纯虚数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 某公司一种型号的产品近期销售情况如表： 月份 2 3 4 5 6 销售额（万元） 15.1 16.3 17.0 17.2 18.4 根据上表可得到回归直线方程，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为（ ） A. 18.85万元 B. 19.3万元 C. 19.25万元 D. 19.05万元 4. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体最长的棱长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 已知非零向量，，，若，则 B. 设x，，则“”是“且”的充分不必要条件 C. 用秦九韶算法求这个多项式的值，当时，的值为14 D 若随机变量，，则 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 公差为的等差数列的首项为，其前项和为，若直线与圆的两个交点关于直线对称，则数列的前100项和等于（ ） A. B. C. D. 1 8. 函数的大致图象如图所示，则大小顺序为（ ） A B. C. D. 9. 如图，棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，以下四个命题：①三棱锥的体积为定值；②；③若，则三棱锥的外接球半径为；④的最小值为.其中真命题有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ③④ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的的值与下面的哪个数最接近？（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线的右焦点为，，直线与抛物线的准线交于点，点为双曲线上一动点，且点在以为直径的圆内，直线与以为直径的圆交于点，则的最大值为（ ） A. 80 B. 81 C. 72 D. 71 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13. 抛物线的焦点坐标是______． 14. 石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则__________. 15. 在等腰直角三角形中，，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是 ________. 16. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为________． 三、解答题（本题共6道小题，共70分） 17. 已知向量，，函数. （1）若，求值； （2），，为的内角，，的对边，，且，求面积的最大值. 18. 如图甲是由梯形ABCD和正三角形CDE组成的一个平面图形，其中，，，将沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），使二面角为直二面角. （1）证明：； （2）若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面PAD所成角的正弦值. 19. 石室中学社团为庆祝石室中学2166年校庆，为同学们准备了丰富多彩的游戏节目.其中某个知识答题游戏节目，共需要完成且次答题，并以累计的总分作为参考依据.若甲同学参加该游戏，且每次回答正确的概率为，回答错误的概率为，各次答题相互独立.规定第一次答题时，回答正确得20分，回答错误得10分，第二次答题时，设置了两种答题方案供选择，方案一：回答正确得50分，回答错误得0分.方案二：若回答正确，则获得上一次答题分数的两倍，回答错误得10分.从第三次答题开始执行第二次答题所选方案，直到答题结束. （1）如果，甲选择何种方案参加比赛答题更加有利？并说明理由； （2）若甲选择方案二，则 ①记甲第次获得的分数为，期望为，求； ②若甲累计总分的期望值超过2166分，即可获得校园文创产品一份，求至少需要答题的次数. (参考数据：；；；) 20. 已知函数. （1）若时，求曲线在点处的切线方程； （2）若时，求函数的零点个数； （3）若对于任意，恒成立，求的取值范围. 21. 已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为. （1）求点的轨迹的方程； （2）过作不平行于坐标轴的直线交于D，E两点，若轴于点M，轴于点N，直线DN与EM交于点Q. ①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线； ②求面积最大值. 四、选考题