培优练3：爪形结构与分角定理、张角定理-2024届高三数学二轮复习

培优练3 爪形结构与分角定理、张角定理 一、基本技能练 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A，B，C三点共线，设直线不过点O，则S200＝(　　) A.100 B.101 C.200 D.201 2.在△ABC中，＝，点P是BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A. B. C. D.1 3.已知A(2，1)，B(3，－1)及直线l：y＝4x－5，直线AB与l相交于P点，若＝λ，则λ＝(　　) A.－ B.－ C. D. 4.在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，则m＋n＝(　　) A. B. C. D.1 5.在△ABC中，点D为AB的中点，E、F为BC的两个三等分点，AE交CD于点M.设＝a，＝b，则＝(　　) A.a－b B.a＋b C.a－b D.a＋b 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角A的角平分线交BC于点D.若asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，且AD＝，b＝3c，则a的值为(　　) A. B. C.3 D.2 7.边长为4的等边三角形ABC中，＝，＝3，CD与BE交于点O，则|＋＋|＝________. 8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD是∠BAC的角平分线，若∠BAC＝，|AD|＝2，则2b＋c的最小值为________. 二、创新拓展练 9.(多选)如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC，AD的延长线交于点E，对边AB，DC的延长线交于点F，若＝λ，＝μ(λ，μ>0)，＝3，则(　　) A.＝＋ B.λμ＝ C.＋的最大值为1 D.≥－ 10.在△ABC中，B＝，AB＝1，角A的平分线AD＝，则AC＝________. 参考答案 1.A　[易知a1＋a200＝1， ∴S200＝＝100.] 2.B　[＝λ＋(1－λ)，＝， ＝λ＋， 又＝m＋， ∴ ∴m＝.] 3.B　[设P(x，y)，由＝λ，得λ＝，由定比分点公式得 ＝＋， 即(x，y)＝(2，1)＋(3，－1)＝， 又∵P点在直线l上， ∴＝－5， ∴λ＝－.] 4.B　[＝＋＝＋＝··＋， ∴m＝，n＝， ∴m＋n＝.] 5.A　[∵D，M，C共线， ∴＝x＋(1－x) ＝＋(1－x)； ∵A，M，E共线， ∴＝y＝y， ∴ ∴＝2－2x，∴x＝， ∴＝＋， ＝－ ＝＋－ ＝＋ ＝－＝a－b.] 6.B　[由asin A＝bsin B＋(c－b)sin C及正弦定理得a2＝b2＋(c－b)c， 由余弦定理得cos A＝＝， 则A＝， 由三角形内角平分线定理得＝＝， 所以＝＋， 两边平方得||2＝＝2＋·＋2， 即()2＝c2＋c·3c·＋(3c)2， 解得c＝， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝42＋－2×4××＝，a＝.] 7.　[＋＋＝2＋， ∵直线BE交△ADC三边所在直线于E、O、B， 由梅涅劳斯定理得··＝1， ··＝1， ＝， ∴|＋＋|＝|2＋|＝|－3＋|＝|－2|＝|CD|＝.] 8.6＋4　[如图. ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝， 由张角定理得 ＝＋， 即＝＋， ∴＋＝， ∴2b＋c＝(2b＋c)×2 ＝＋＋6≥6＋2＝6＋4.] 9.ABD　[由＝3，得 －＝3－3， ∴＝＋，A正确； 直线FD交△ABE三边所在直线于D，C，F， 由梅涅劳斯定理，得··＝1， ··＝1，λμ＝， ＋≥2＝4， 所以B正确，C错误； ＝＝－·， (1＋λ)(1＋μ)＝λμ＋λ＋μ＋1≥＋2＋1＝， ≥－，故D正确.] 10.＋1　[AD平分角A， ∴∠BAD＝∠CAD， 由张角定理，得 ＝＋， 即＝＋1.① 在△ABD中，由正弦定理 得＝， ∴sin∠ADB＝， ∴∠ADB＝， ∴∠BAD＝π－π－＝. cos∠BAD＝cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝， 代入①式易得AC＝＋1.] 学科网（北京）股份有限公司 $$