2024届高三数学二轮复习培优练1：极化恒等式与等和线

培优练1 极化恒等式与等和线 一、基本技能练 1.设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在四边形MNPQ中，若＝，||＝6，||＝10，·＝－28，则·＝(　　) A.64 B.42 C.36 D.28 3.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则·的最大值是(　　) A. B.2 C. D. 4.若A，B为双曲线－＝1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2＋(y－2)2＝1上的一个动点，则·的最大值为(　　) A. B.7 C.－7 D.－16 5.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·＝(　　) A.－ B.－ C.－ D.－ 6.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 7.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·＝________. 8.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图所示，点C在以O为圆心的弧上运动，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋y的最大值是________. 二、创新拓展练 9.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，且＝λa＋μb，则λ＋μ＝(　　) A.1 B. C. D. 10.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为________. 参考答案 1.A　[由极化恒等式得a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]＝(|a＋b|2－|a－b|2)＝×(10－6)＝1.] 2.C　[由·＝2－2 ＝36－2＝－28， 解得2＝64，所以2＝64， 所以·＝·＝2－2＝100－64＝36.] 3.B　[如图所示，取CD的中点E，连接PE， 由极化恒等式可得·＝2－2＝||2－， 所以当P与A(B)重合时，||＝最大， 从而(·)max＝2.] 4.C　[如图，O为AB的中点，连接MO， ·＝2－2， 而|MO|max＝|OC|＋1＝3， |AB|min＝2a＝8， 所以(·)max＝9－×64＝－7.] 5.B　[∵＝2，圆O的半径为1， ∴||＝. 法一　·＝(＋)·(＋)＝2＋·(＋)＋· ＝＋0－1＝－. 法二　由极化恒等式得 ·＝2－2＝－1＝－.] 6.B　[如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 则·＝2－＝||2－. 因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝， 当且仅当O，N，M三点共线时取等号. 所以·的最大值为2.故选B.] 7.27　[BD＝＝12， ∴AO＝6，OE＝3， ∴由极化恒等式知 ·＝2－2＝36－9＝27.] 8.2　[(等和线法)　如图所示，设x＋y＝k，则直线AB为以，为基底k＝1的等和线，所有与直线AB平行的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，易知OE⊥AB， 因为OA＝1，∠AOB＝， 所以OE＝，则k＝＝＝2， 即x＋y的最大值为2.] 9.A　[(等和线法)如图，作＝，延长CD与AG相交于G， 因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.故选A.] 10.　[(等和线法)　如图，设λ＋μ＝k，则直线CD为以，为基底k＝1的等和线，所有与直线CD平行的直线中，过点B的直线离点O最远，此时k的值最大，且此时k＝， 易知AD＝DE＝1，故此时k＝， 显然k的最小值为1， 即λ＋μ∈.] 学科网（北京）股份有限公司 $$