精品解析：天津市北辰区天津四十七中2023-2024学年高二上学期第二次阶段性检测数学试题

2023—2024天津市第四十七中学高二年级第一学期第二次阶段性检测 数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一､选择题（每题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. 13 B. 16 C. 17 D. 18 5. 点F是抛物线焦点，A为双曲线C：的左顶点，直线AF平行于双曲线C的一条渐近线，则实数b的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6. 已知正项等比数列满足，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列前项和，若，则（ ） A. 578 B. 579 C. 580 D. 581 8. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. C. D. 4 二､填空题（每题5分，共30分） 10. 已知向量，，，且，则___________. 11. 已知抛物线上一点 到其焦点的距离为 5，则该抛物线的准线方程为____________． 12. 等差数列的前项和分别是与，且，则______. 13. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则直线l的斜率为_________； 14. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是____________． 15. 设数列的前项和为，且，数列满足，其中．则使不等式对任意正整数都成立的最大实数的值为__________． 三､解答题（共75分，解答需写出必要的文字说明推理过程或计算步骤，只有结果的不给分） 16. 在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点. （1）若，求证：直线平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 18. 设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，. （1）求，的通项公式 （2）设，求 ； （3）设，数列的前项和为，求. 19. 已知椭圆一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 20. 已知数列的前n项和为满足.数列满足，且満足 （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足；求 （3），数列的前项和为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024天津市第四十七中学高二年级第一学期第二次阶段性检测 数学试卷 第I卷（共三部分；满分150分） 一､选择题（每题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将直线一般式化为斜截式，利用斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】因为直线，可化为， 所以直线的斜率为（其中为直线的倾斜角）， 又，所以. 故选：C. 2. 如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解. 【详解】如图，连接， 因为点，分别是，的中点， 所以. 因为点是的中点， 所以 . 因为点是的中点， 所以， 则. 故选：D. 3. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的渐近线及焦点坐标得到方程组，解得、，即可得解. 【详解】解：椭圆的焦点为， 又双曲线：的一条渐近线方程为， 所以，解得，所以双曲线方程为. 故选：C 4. 已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ） A. 13 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】求出点所在圆关于直线对称的圆，将距离等价转化为点到对称圆上的对应点的距