2024届高三数学复习微专题32：导数与三角函数问题

微专题32 导数与三角函数问题 一、基本技能练 1.(2023·重庆诊断)设f(x)＝sin x－x＋x2. (1)当x≥0时，求证：f(x)≥0； (2)证明：对一切正整数n，都有sin 1＋sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin >－. 2.(2023·北京石景山区模拟)已知函数f(x)＝ex－1－msin x(m∈R). (1)当m＝1时，求证：∀x∈，f(x)>0. (2)若f(x)在(0，)上恰有一个极值点，求m的取值范围. 3.(2023·金华模拟)已知函数f(x)＝xn＋2－xncos x(其中n∈Z). (1)若n＝－1，判断f(x)在上的单调性； (2)若n＝1，判断f(x)零点个数，并说明理由； (3)若n＝0，求证：f(x)＋2－>0. 4. (2023·全国甲卷)已知函数f(x)＝ax－，x∈. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)＋sin x<0，求a的取值范围. 5. 已知函数f(x)＝－3cos x－ax2，f′(x)为f(x)的导函数. (1)若f′(x)在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若x∈，求证：当a≤3时.f(x)＋x3＋3≥0. 6. (2023·青岛模拟)已知f(x)＝－cos x. (1)求证：f(x)在上单调递增； (2)当x∈时，ksin x≥ex－cos x恒成立，求实数k的取值范围. 7. 设函数f(x)＝sin x－xcos x，g(x)＝f(x)＋sin x－ax3. (1)证明：当x∈(0，)时，f(x)有唯一零点； (2)若任意x∈[0，＋∞)，不等式g(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. 8. 已知f(x)＝axln x＋x2，若0<a≤1，求证：f(x)<ex－sin x＋1. 二、创新拓展练 4.(2023·苏州联考)(1)已知f(x)＝e－x－ln x－2x， 若x0是f(x)的零点，证明：x0·ex0＝1. (2)证明：对任意x>0，0<a≤1，都有asin x－xln x<e－x＋x2. 参考答案 1.证明　(1)f′(x)＝cos x－1＋x， 令g(x)＝f′(x)， 则g′(x)＝－sin x＋1≥0，故f′(x)单调递增. 当x≥0时，f′(x)≥f′(0)＝0， 所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 有f(x)≥f(0)＝0恒成立. (2)由(1)知当x>0时， sin x>x－x2，取x＝，k＝1，2，…，n， 有sin >－＝＝≥>＝， 故sin 1＋sin ＋sin ＋sin ＋…＋sin >＋＋＋…＋ ＝＝－ 即不等式成立. 2.(1)证明　f(x)＝ex－1－sin x，f′(x)＝ex－cos x， 因为x∈， 所以ex>1，－cos x>－1， 所以f′(x)＝ex－cos x>0， 所以f(x)在上单调递增， 所以f(x)>f(0)＝0. (2)解　f(x)＝ex－1－msin x， f′(x)＝ex－mcos x， 当m≤1时，－mcos x≥－cos x， f′(x)＝ex－mcos x≥ex－cos x， 由(1)知f′(x)>0， 所以f(x)在上单调递增. 所以当m≤1时，f(x)＝ex－1－msin x没有极值点； 当m>1时，f′(x)＝ex－mcos x， 因为y＝ex与y＝－mcos x在上单调递增. 所以f′(x)在上单调递增. 又f′(0)＝1－m<0，f′＝e>0. 所以∃x0∈使得f′(x0)＝0. 所以当0<x<x0时，f′(x)<0， 因此f(x)在(0，x0)上单调递减， 当x0<x<时，f′(x)>0， 因此f(x)在上单调递增. 故f(x)在上恰有一个极小值点， m的取值范围是(1，＋∞). 3.(1)解　n＝－1时，f(x)＝x－cos x， ∴f′(x)＝1＋＋>0在上恒成立，所以f(x)在上单调递增. (2)解　n＝1时，f(x)＝x3－xcos x， 令f(x)＝x3－xcos x＝0， 所以x＝0或x2＝cos x. 令g(x)＝x2－cos x，所以g′(x)＝2x＋sin x， 因为g(－x)＝x2－cos x＝g(x)， 所以g(x)是偶函数. 不妨研究x≥0时g(x)单调性. 当x∈[0，π]时，g′(x)＝2x＋sin x≥0， 所以g(x)单调递增， 因为g(0)＝－1，g(2)＝4－cos 2>0， 所以g(x)在(0，π]内有一个零点. 当x∈(π，＋∞)时，易知g(x)>0， 所以g(x)在(π，＋∞)内没有零点. 根据函数的奇偶性得f(x)在[－π，0)内有一个零点， 综上，f(x)有三个零点. (3)证明　n＝0时，f(x)＝x2－cos x， 即证x2－cos x＋2－>0， 即证x2－cos x>－2. 由(2)得g