微专题31：导数与函数的零点专项训练-2024届高三数学一轮复习

微专题31导数与函数的零点 一、基本技能练 1.已知函数x)=x3一十2 (I)讨论x)的单调性； (2)若x)有三个零点，求k的取值范围. 2.已知函数fx)=er一ax十2a,a∈R,试讨论函数x)的零点个数 3.(2023湖北武汉四调)已知函数x)=xlnx一ax,其中0. (1)证明：x)恒有唯一零点： (2)记(1)中的零点为xo,当0<k<2时，证明：x)图象上存在关于点(xo,0)对称 的两点。 4.(2022·全国乙卷节选)已知函数x)=ax一1x一(a十1)nx.若x)恰有一个零点， 求a的取值范围. 5.(2023·商洛模拟改编)己知函数x)=c一4sinx,其中e为自然对数的底数，证 明：x)在[0，十∞)上有两个零点 6.(2023·南昌模拟改编)已知函数x)=(x一1)2+2一1，判断方程fx)=3解的个 数，并说明理由 7.(2023·沈阳模拟)已知x)=(2-2xlnx+1as4 alcol(a一f12x2+21一a)x,a 0 (I)讨论x)的单调性； (2)若x)有两个零点，求a的取值范围. 8.已知x)=(c一2)er一ar十alnx(a∈R).当ae时，试讨论x)的零点个数. 二、创新拓展练 9.(2023济宁模拟)已知函数x)=(x一3)e-ea2(x2-4x) (1)当a=1时，求x)的单调区间： (2)当0<a2时，讨论fx)的零点个数. 参考答案 1.解(1x)=x3-x+2,fw)=3x2-k, 当≤0时，fx)≥0，x)在R上单调递增， 当k>0时，令fx)>0, 解得x<一k3)或x>k3), 令f(x)<0,解得-k3)<x<k3, 综上，当O时，x)在R上单调递增， 当k>0时，fx)在las4alco1(-oo,一rfk3)和iaw4alco1rfk3),+oo上 单调递增， 在avs4 alcol(一r(fkfk3)上单调递减 (2)由(1)得当k>0时，x)极小值=favs4alco1rf3,x)报大值=f alvs4alicol(-rofk3))), 若x)有三个零点， 只需k>0,rc43))c3))>0,解得0<k<427. 故k的取值范围为avs4acol(0,f427) 2.解令fx)=0,得e=a(x-2), 当a=0时，ex=a(x一2)无解， x)无零点， 当a0时，1a=x-2ex 令px)=x-2ex,x∈R, ∴.p'(x)=3-xex, 当x∈(-0,3)时，p'(x)>0: 当x∈(3，+o)时，p'(x)0, ∴.p(x)在（一0,3）上单调递增， 在(3，十0)上单调递减， 且p(ximx=gp(3)=le3, 又x→+o时，px)→0， x→一oo时，p(x)→一0， ∴p(x)的大致图象如图所示. ①当la>1e3, 即0<ae3时，fx)无零点； ②当1a=1e3, 即a=e3时，x)有一个零点： ③当0<1a<1e3, 即a>e3时，x)有两个零点： ④当1a0,即a0时，x)有一个零点， 综上，当a∈0，e3)时，fx)无零点： 当a∈(-oo,0)U{e}时，x)有一个零点： 当a∈(e3,十o)时，x)有两个零点。 3.证明(1)令x)=0,得k=x2nx 由0得x⊙1. 令hx)=x21nx,x>1, 则h(x)=2xnx十x>0, 则h(x)在(1，+o)上单调递增，且值域为0，十o). 故(x)=x2lnx(>1)的图象与直线y=k,>0有唯一交点，所以函数fx)恒有唯一 零点。 (2)当k=e2时，xo=e, 所以0<k<e2时，xo∈(1，e). 要证x)图象上存在关于点(xo,0)对称的两点， 即证存在t∈(0，o),使得o十)+x一t)=0. 令F(0=xo十)十o一0<xo),下面证明F()在(0，xo)上有零点. 对F(0求导得F()=fxo十)一f(xo一)， 记G(0=F(0,g(x)=f(x), G(t)=g(0+0一g(x0-),G'(0=g(x0十0十g'(x0-) f(x)=1+Inx+kx2, g'(x)=1x-23=x2-2kx3 当0<2k时，g(x)0: 当心2k时，g(x)>0 x20-2k=x20-2x20lnx=x20(1-2nxo)P0. 故x0>2k,当0<xo一2k时，x0十fPxo一P2k 有g(xo+>0,g'(x-)>0, 此时G()>0,则F(0在(0，xo一2)上单调递增， 故0<tKxo一2k时，F(t)>F(0)=f(axo)一f(xo)=0. 故F(0在(0，xo一2上单调递增， F(xo-2k)PF(0)=2xo)=0. 又x→0时，x)一→一oo, 故t一xo时，F(t)一一o, 故F0在(xo一2k,xo)上存在零点，即F(t)在(0，xo)上有零点