微专题30：不等式恒(能)成立问题专项训练-2024届高三数学一轮复习

微专题30不等式恒（能）成立问题 一、基本技能练 L.已知函数fx)=(c-2)er-l2ar2+a(a∈R),当x≥2时，x)≥0恒成立，求a 的取值范围。 2.(2023榆林模拟)已知函数)=als4 allcol(x一12x2nx+\ alvs4alcol(f(114)x2-(k+1)x,kER. (1)若k>0,求术x)的单调区间： (2)若k∈Z,且当x>1时，fx)nx+1,求k的最大值 3.(2023·辽宁名校联考)已知函数x)=xnx一mx十m. (1)求x)的单调区间： (2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择，如果多写按第一个计分. ①若对任意x∈(0，I),不等式x)>一x恒成立，求m的最小整数值： ②若存在x∈(I,+∞)，使得不等式x)一nx成立，求实数m的取值范围. 4.(2022·新高考Ⅱ卷节选)已知函数x)=xe一ex. (1)当a=1时，讨论x)的单调性： (2)当x>0时，x)一1，求a的取值范围 5.(2023·焦作模拟改编)已知x)=(x一1)e+ax2.若关于x的不等式x)≥23r3+ ae十4a在0，十∞)上恒成立，求实数a的取值范围. 6.(2023·武汉调研节选)已知函数x)=lnx十ax(a∈R),若x)≤er-1+1x一1恒成 立，求实数a的取值范围. 7.已知fx)=(x-4)er-xr2+6x,g(x)=nx一(a+1)x,>-1. (1)求x)的极值： (2)若存在x1∈[1,3]，对任意的x2∈[e2,e3],使得不等式gx2)>x)成立，求实 数a的取值范围.(e3≈20.09) 8.已知函数fx)=xnx,当x≥1时，fx)≤a2一a,求a的取值范围. 二、创新拓展练 9.(2023·青岛模拟)已知fx)=n(x+1)一ax. (1)讨论x)的单调性： (2)当x≥0时，不等式x)≤e一1恒成立，求实数a的取值范围 参考答案 1.解法一fx)=(-1)e-a, ①当a0时，因为22， 所以x-1>0,ex-a>0,所以f(x)>0, 则x)在2，+o)上单调递增，x)≥2)=0成立 ②当0<ae2时，fx)≥0， 所以x)在[2，十o)上单调递增 所以x)≥2)=0成立. ③当a>e2时，当x∈(2，lna)时，fx)<0; 当x∈(dna,+oo)时，fx)>0, 所以x)在(2，na)上单调递减，在(na,十o)上单调递增，x)≥0不恒成立，不 符合题意。 综上，a的取值范围是（一o,e] 法二当≥2时，x≥0恒成立， 等价于当x之2时，(c一2)er-12aa2+ar0恒成立，即1as4 alcol(f12x2-x)a≤ (r一2)e*在[2，+oo)上恒成立. 当x=2时，0a0,此时a∈R 当x>2时，12x2-x>0, 所以a匹(x-2)exl2=2exx恒成立 设g(x)=2ecx,则g(x)=2(x-1)exx2, 因为x>2,所以g(x)>0, 所以g(x)在(2，十o)上单调递增， 所以gx)>g(2)=e2,所以ae2 综上，a的取值范围是（一o,e], 2.解(1x)的定义域为0，十oo), f(x)=(1-x)In x+1-12x+lalvs4lalcol(k+12))x-(k+1)=(1-xX(In x-k), 由f(x)=0,得x=1或x=ek, 若e0,则e1,当x∈(0,1)U(ek,+o)时，fx)0, 当xe(1,e时，fx0, 故x)的单调递减区间为(0,1)和(ek,+oo),单调递增区间为1，e. (2)因为x>1,所以fx)lnx十1等价于k<lnx+x+1x一1， g(x)=Inx+Inx+1x-1,x1, 则g(x)=1x-1x(x-1)2=x-2-mx(x-1)2, 令hx)=x-2-nx,x>1, 则h(x)=1一1x心0， 则h(x)在(1，+o)上单调递增. 因为3)=1-n3<0,4)=2-2n2>0, 所以3xo∈(3,4)，(xo)=0,即nxo=x0一2， 所以当x∈(1，o)时，g(x)0,gx)单调递减， 当x∈(x,+o)时，g(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(xmm=g(o)=lnxo+lnx0+1x0-1 =x0-1∈(2,3). 故k的最大值为2 3.解(1x)的定义域为0，+oo),fx)=lnx+(1一m). 令f(x)=0,得x=em-1,由f(x)0, 解得0<em一l, 由fx)>0,解得x>em-1, 所以x)的单调递减区间为(0，em-1), 单调递增区间为(em-l,+o)为 (2)选择①： 当0<<1时，x)>一x恒成立， 即m>xnx十xx一1恒成立. 令gw)=xnx+x-1,x∈(0,1) 则g(x)=x一lnx一2(x一1)2. 令x)=x-l