专题05 二次函数中的存在性问题-【好题汇编】备战2023-2024学年九年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题05 二次函数中的存在性问题 直角三角形存在性问题 1．（2022•丰台区•北京市第十二中学校级期末模拟）如图，直线yx+a与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，抛物线yx2+bx+c经过点A，B．点M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线分别交直线AB及抛物线于点P，N． （1）填空：点B的坐标为　　，抛物线的解析式为　　； （2）当点M在线段OA上运动时（不与点O，A重合）， ①当m为何值时，线段PN最大值，并求出PN的最大值； ②求出使△BPN为直角三角形时m的值； 2．（2022•通州区•期末统考）如图，抛物线y1＝ax2﹣2x+c的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为D（0，3），与直线y2＝﹣x﹣3交点为A和C． （1）求抛物线的解析式； （2）在直线y2＝﹣x﹣3上是否存在一点M，使得△ABM是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形EFGH与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标xE的取值范围． 等腰三角形存在性问题 3．（2022•西城区•北京市铁路第二中学校级期末模拟）已知：抛物线yx2+bx+c（c＜0）的图象与x轴的负半轴相交于点A，与x轴的正半轴相交于点B，与y轴交于点C，8OC2＝3OA•OB且△ABC的面积为60． （1）求该抛物线的解析式； （2）点D在线段AB上且AD＝AC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的结论下，直线x＝1上是否存在点M，是△MPQ为等腰三角形？若存在，请求出所有点M的坐标；若不存在请说明理由． 4．（2022•西城区•北京市第三十九中学校级期末模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0）、C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D． （1）求此二次函数解析式； （2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 平行四边形存在性问题 5．（2022•西城区•北京市宣武外国语实验学校期末模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． （3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2022•西城区•北京师大附中校级期末模拟）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，M为抛物线对称轴l上一动点，连接MA、MC，求MA+MC的最小值及此时M点的坐标； （3）如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，点F（2，1），P为抛物线上一动点，Q为抛物线对称轴l上一动点，以点E、F、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出所有可能的点Q的坐标． 菱形存在性问题 7．（2022•西城区•北京市第十四中学校级期末模拟）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（a，b），点P的变换点P'的坐标定义如下： 当a＞b时，点P'的坐标为（﹣a，b）；当a≤b时，点P'的坐标为（﹣b，a）． （1）点A（3，1）的变换点A'的坐标是　　；点B（﹣4，2）的变换点为B'，连接OB，OB'，则∠BOB'＝　　°； （2）已知抛物线y＝﹣（x+2）2+m与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），顶点为E．点P在抛物线y＝﹣（x+2）2+m上，点P的变换点为P'．若点P'恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP'D是菱形，求m的值； （3）若点F是函数y＝﹣2x﹣6（﹣4≤x≤﹣2）图象上的一点，点F的变换点为F'，连接FF'，以FF'为直径作⊙M，⊙M的半径为r，请直接写出r的取值范围． 8．（2022•西城区•北京师大附中校级中考模拟）如图，抛物线y＝ax2﹣6ax﹣6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接BC．已知抛物线顶点纵坐标为﹣8． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，M为线段OB的中点，过点M作MN∥BC