7.3.1&7.3.2 三角函数的周期性、三角函数的图象与性质（12大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

7.3.1&7.3.2 三角函数的周期性、三角函数的图象与性质 一、三角函数的周期性 1、周期函数的定义 设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对于任意，都有，且，那么函数就叫作周期函数，非零常数叫作这个函数的周期。 2、最小正周期 对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作的最小正周期。其中三角函数中的周期一般都指最小正周期。 3、正弦函数、余弦函数、正切函数的周期 （1）正弦函数、余弦函数的最小正周期是，正切函数的最小正周期是； （2）函数及的周期为； 函数的周期为（其中为常数，且，） 二、正（与）弦函数的图象与性质 1、正（与）弦函数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ,,,, ,,,, 正（余）弦曲线 正（余）弦函数的图象叫做正（余）弦曲线 2、正（余）弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 三、正切函数的图象与性质 1、正切函数的图象 2、正切函数的性质 （1）定义域： （2）值域：R （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 （4）奇偶性：正切函数是奇函数，即 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增 四、三角函数的值域求法 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)． （2）形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)． （3）对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论． 题型一 三角函数的周期 【例1】（2023·四川绵阳·高一南山中学实验学校校考阶段练习）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023·山西晋中·高三介休一中校考阶段练习）函数的最小正周期是（ ） A． B． C．2 D．4 【变式1-2】（2023·山东临沂·高一校考期末）函数最小正周期是（ ） A．3 B． C． D． 【变式1-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 【变式1-4】（2023·陕西西安·高一校考期末）已知函数，则 ． 题型二 五点法作三角函数图象 【例2】（2022·全国·高一专题练习）用“五点法”作y＝2sinx的图象时，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·黑龙江·高三哈尔滨市第十三中学校校考阶段练习）函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·高一课时练习）利用“五点法”作出函数的简图. 【变式2-3】（2023·高一课时练习）作出函数，的大致图像． 题型三 含绝对值的三角函数 【例3】（2022·高一课时练习）作出函数，的大致图像． 【变式3-1】（2022·高一课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）； （2）； （3）. 【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）作出函数的图象 【变式3-3】（2022·高一课时练习）利用正弦或余弦函数图象作出的图象． 题型四 三角函数的奇偶性 【例4】（2022·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）. 【变式4-1】（2023·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【变式4-2】（2022·高一课时练习）函数的奇偶性是 ． 【变式4-3】（2022·福建龙岩·高一上杭一中校考期末）已知，则“函数的图象关于轴对称